Des formes modulaires

Chessmaster

Bonjour

C'est mon premier message je me présente, je suis en M1 maths à Grenoble et je fais un TER sur les formes modulaires (j'aurais surement pu poster dans une autre partie d'ailleurs). Peut-être que parmi vous, il y en a qui connaissent sujet.

J'ai démontré (très simplement, suffit d'utiliser qu'elles sont holomorphes en l'infini) que quel que soit son poids, "toute forme modulaire est bornée sur le domaine fondamental" (pour l'action de PSL(2,Z) sur le demi plan de Poincaré) et cette preuve à l'air de marcher d'après mon tuteur. Seulement ni Serre, ni les autres cours sur les formes modulaires que j'ai lus ne mentionnent explicitement ce résultat. J'ai réussi en retouchant un peu la preuve qu'il donne de l'ordre de grandeur des coefficients d'une forme parabolique (Hecke) à montrer quelques petits résultats (des trucs qu'il a déjà démontré en plus ).

Ma question : est-ce que vous connaissez des documents (de préférence mis en ligne) accessibles à un étudiant lambda utilisant ce résultat à savoir : "toute forme modulaire est bornée sur le domaine fondamental" ?

Merci d'avance à tous ceux qui prendront la peine de répondre.
Bonne journée à tous.

[Erich Hecke (1887-1947) mérite quand même une majuscule ! AD]

Amédé

Si ton tuteur te dit que la preuve marche c'est qu'elle marche. Sans donner de nom il est toujours à l'ujf C.L?

un petit lien:

Formes modulaires

Chessmaster

merci d'avoir pris le temps de répondre Amédé,mais ça n'est pas vraiment ma question,je n'ai plus de doute sur le fait que ça soit vrai,par contre je me demande si c'est "utile".Tu sais si on peut déduire des trucs de pas mal ça spécifiquement ?

J'ai pas encore vu ce "théorème " énoncé explicitement même si dans la preuve Serre,(c'est la même dans ton pdf ) de Hecke il dit implicitement un truc plus fort mais uniquement pour les formes paraboliques qui sont un cas particulier des formes modulaires,on pourrait croire que ça change pas grand chose puisque y'a juste une restriction en plus sur le premier coefficient mais ça change tout ,l'ordre grandeur des coef est toujours $n^'{2k-1}$pour les formes modulaires non paraboliques alors que pour une parabolique c'est en $O(n^k)$,P;Deligne a une majoration un peu meilleure mais mon tuteur (J.R si tu connais) m'a dit que c'était pas la peine que je cherche à comprendre,beaucoup beaucoup trop compliqué.

Dans ton pdf,j'ai pas l'impression d'avoir vu cet argument à savoir "toute forme modulaire est bornée sur le domaine fondamental" utilisé ni même énoncé,mais merci quand même je vais peut être y piocher 2,3 trucs.


ah t'es de Grenoble ? la fac ne cache pas les noms de ses enseignants tu sais,tu peux aller regarder l'annuaire en ligne sur le site de l'institut Fourier.Si le prénom est Christophe et qu'il est probabiliste alors oui et c'est de très loin le prof que je "connais" le mieux.

Amédé

Non je suis pas de Grenoble dieu m'en préserve je suis de Chambéry. Mais j'ai eu affaire avec C.L. Excellent prof au demeurant.

Chessmaster

On s'éloigne du sujet,faut que je rende mon rapport avant la fin du mois et j'ai pas fait 40 pages de latex comme d'autres polards.J aimerais faire un truc un peu original pour compenser parce que j'ai envie de marquer le coup avec au moins 14 de moyenne ce semestre,ça passe par prendre les points là où on peut les trouver facilement i.e en TER et en probas (j'ai eu à peine la moyenne au premier).

Aussi ne compte pas sur moi pour dire du mal d'un enseignant sur un forum public,qui plus est où mon anonymat est très relatif (un prof de l'ujf n'aurait aucun mal à savoir qui je suis).


Bonne soirée.

Dionysos

Pour la théorie analytique des formes modulaires, consultez Iwaniec-Kowalski, Iwaniec "Classical modular forms"; en lien avec les représentations, Knightley-Li est très bien. Miyake aussi, etc. Sarnak "topics on.." m'a fait débuter sur le sujet... je recommande!

Allez voir aussi sur le ouèbe, chez Milne qui a des polys; consultez les pages de Philippe MIchel, Emmanuel Kowalsi, Aksay Venkatesh, pleines de polys et d'infos sur des bornes des formes automorphes; vous devez connaître Milne.
Votre question se résout par le devt en serie, et reste valide sur tout groupe de congruence notamment.

Si vous avez d'autres ref, ca m'intéresse...
Bon courage et bonnes lectures!

enonce

Chessmaster a écrit:

P;Deligne a une majoration un peu meilleure

Plus qu'un peu, puisque, pour une forme parabolique de poids $k \geqslant 1$, le résultat profond de Deligne montre que les coefficients sont en $\ll n^{(k-1)/2} \tau(n)$. De plus, si le poids est égal à $1$, alors l'article fondamental de Deligne et Serre suivant :
\textsc{P. Deligne \& J-P. Serre}, {\it Formes modulaires de poids} $1$, Ann. Scient. ENS, 4ème Série, Tome 7, n° 4 (1974), 507--530

montre que cette majoration est valide {\it pour toute} forme modulaire (Théorème 9.1). Cet article étant disponible en ligne, je ne saurais trop te conseiller de le télécharger, si ce n'est déjà fait.

Quant à une application de ton résultat, il pourrait peut-être donner le demi-plan de convergence absolue de la fonction $L$ automorphe associée à une forme modulaire. A ce sujet, j'ajouterais à la liste des références de Dionysos l'ouvrage (profond, lui aussi) suivant :

\textsc{H. Iwaniek \& E. Kowalski}, {\it Analytic Number Theory} AMS Coll. Publ. Vol. 53, 2004, Chapitre 5.

Lobo

Et faire un TER qui est à ta portée tu y as pensé ?

Chessmaster

Merci énonce, mais mon tuteur m'a dit de laisser tomber cette preuve, il aurait eu la médaille Fields pour un truc dans le genre et comme l a gentiment fait remarqué lobo j'ai pas la prétention de faire un ter de ce niveau.

Énonce je pense que tu n'as pas bien lu/compris la majoration de Deligne ( celle dans cours d arithmétique 4ème édition), elle est bien plus faible que ce tu dis, c est même plus faible que bornée devant n^(k-0,5).( c est peut être moi qui ai tort )

Moi j aimerais bien des petits trucs,utilisant cette remarque "personnelle" ( personnelle dans le sens où pour l instant j ai lu nul part "toute forme modulaire est bornée sur le domaine fondamental"),histoire de faire un truc un peu original et d avoir une bonne note sans avoir fourni un travail colossal.


Merci d avoir pris le temps de répondre, bonne soirée a tous.

enonce

Chessmaster a écrit:

Énonce je pense que tu n'as pas bien lu/compris la majoration de Deligne

Je {\bf maintiens} ce que j'ai dit (en ajoutant simplement que la forme parabolique doit être primitive) : si $f$ est une newform de poids $k \geqslant 1$, alors ses coefficients de Fourier vérifient

$$\left | a_n \right | \ll n^{(k-1)/2} \tau(n) \ll_{\varepsilon} n^{(k-1)/2 + \varepsilon}$$
pour tout $\varepsilon >0$. La référence de Deligne est l'article suivant :

\textsc{P. Deligne}, {\it La conjecture de Weil I, II}, Publ. IHES {\bf 43} (1974), 273--307.

Tu as lu trop rapidement le texte de Serre, semble-t-il : celui-ci considère des formes paraboliques de poids $2k$, alors que j'ai bien bien dit dans le message plus haut que je prends des formes paraboliques de poids $k$.

As-tu regardé la suggestion que je t'ai faite ensuite ? Ce type de majoration est très utile pour déterminer le demi-plan de convergence absolue de la fonction $L$ associée. Par exemple, si $f$ est une newform de poids $k$ et si $L(s,f) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ est la fonction $L$ automorphe associée (avec $s := \sigma + it \in \mathbb{C}$, alors la borne de Deligne implique que cette série converge absolument dans le demi-plan $\sigma > \frac{k+1}{2}$. Cet outil est donc fondamental en théorie des nombres.

Autre idée : personnellement, je me suis déjà servi du résultat de Deligne pour obtenir des {\it bornes de convexité} des fonctions $L$ automorphes associées à des newform, via Phragmen-Lindelöf. Ca aussi, ce problème est très fréquent en arithmétique.

Chessmaster

, je vais voir si Jpeux aborder ça ( je ne suis qu un M1 lambda).

Ah, toujours cette notation poids k ou 2k. Mais,on revient à la même question,pourquoi la majoration est bien meilleure? Elle "enlève" moins qu une demi puissance non ? J ai cru que tu disais qu elle divisait par 2 l exposant de donné par Hecke (dont je maîtrise la preuve) ce qui ( arrête moi si je me trompe) n est pas le cas.

Merci encore pour le temps passé à m aider.

enonce

Chessmaster a écrit:

Elle "enlève" moins qu une demi puissance non ?

C'est ça !

Je trouve qu'améliorer par un exposant $1/2$ dans ce genre de problème, c'est un quasi-exploit qui aurait mérité, effectivement, la médaille Fields...et qui arrange bien les affaires des fonctions $L$ susnommées.

Chessmaster

Vercidct:C'est trop compliqué pour moi,j'aurai absolument pas le temps de faire ça.



je n'ai pas vraiment eu la réponse à ma question mais c'est pas grave je vais me débrouiller,merci à tous ceux qui ont répondu et bonne semaine à vous tous.

Dionysos

Bonjour,

Je pense que ce résultat est un peu faible pour vraiment permettre de prouver quelque chose d'intéressant -- sans offense aucune! C'est une des choses par lesquelles on commence cette lonue marche..
Par contre, Iwaniec que j'ai indiqué contient plein de résulats un peu, mais pas bcp, plus sophstiqués, pour prouver par ex les bornes de Hecke -- on a besoin que $y^{k/2} f(z)$ soit bornée..
Sinon, ce caractère borné doitpermettre de montrer qu'une forme modulaire non cupsdale est dans $L^p$ pour un certain $p$ explicite $>2$..

Bon courage,

Chessmaster

ahah, nul offense Dionysos,merci pour cette suggestion,je vais mentioner le caractere,L^p,c'est toujours ça de pris. (faut quand même que je me dépeche ,je dois l'avoir fini avant le 2 mai dernier delai)

après recherches j'ai trouvé ceci,c'est issu séminaire N.Bourbaki par R.Godement:
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CFUQFjAE&url=http://archive.numdam.org/article/SHC_1957-1958__10_1_A4_0.pdf&ei=B3ZtUZfxAciLOYvGgZgI&usg=AFQjCNFIWK09nVVUC-zjWDMRZyzJDh0i1Q&sig2=hFwmJWveE35ABQOMorUtPg&bvm=bv.45175338,d.ZWU

A mon humble niveau,je te dis ce que j'ai pensé du début (la partie qui m'interesse)

Il pose dans sa définiton de "forme modulaire entiere " la condition "bornée sur le domaine fondamental",ce qui est pourtant impliqué par être une forme modulaire (défintion du cours d'arithmétique,je peux t'envoyer un lien si tu l'as pas) .Pourquoi rajouter l'adjectif "entière" ? alors que si toutes les formes modulaires sont entieres (conséquence de mon faible résultat) la réciproque (si elle est vraie?) n'a pas l'air triviale.Ensuite,il prend des notations completement contre intuitive , appeler S l'application z->z+1 etT:z->-1/z alors que tout le monde fait le contraire...Pareil pour sa défintion de poids son poids -2k c'est ce que les autres appellent poids 2k ou poids k.

Mais,il arrive à déduire des trucs de ça ("bornée sur le domaine fondamental"), avec il trouve toutes les formes modulaires de poids négatif ou nul (respectivement 0 et les constantes) ça je l'avais remarqué (je trouve mes preuves plus claires en passant) en modifiant un peu la preuve de Heck,par contre il arrive comme ça à trouver que seul 0 est une forme modulaire de poids 1 (ou 2 avec la notation de Serre) puisque quand il déduit ce résultat de la formule avec les zéros d'une forme modulaire il dit "on retrouve aussi...".

Aurais tu (si tu as le temps et l'envie bien sûr) le courage de m'expliquer comment il arrive à ça ? ça serait pas mal dans mon rapport si je prouve en plus que seul zéro est une forme modulaire de poids 2 avant de passer par la formule avec les zéros.


Pour la preuve de heck,je suis d'accord,il faut que y^kf(z) soit bornée sur le domaine fondamental,mais ça c'est pas très restrictif parce que sur le domaine fondamental une forme parabolique elle est bornée devant exp(-2piy) ce qui est bien plus fort.Je vais regarder Iwaniec ce soir.

merci pour l'aide,bonne soirée.

Dionysos

J'ai l'impression que Cartan parle de formes automorphes sur des groupes symplectiques ; toi tu es sur ${\rm SL}_2(\bf R)$ -- attention donc aux différences !
Précisément, quand on définit les formes automorphes en général, il faut des conditions de croissance modérées en les pointes (sans quoi dans le cas des formes classiques on aurait un développement de Laurent avec des termes d'indice <0). Une façon simple dans ce contexte de définir cette modération est d'imposer le caractère borné ; dans le cas des formes classiques, la façon usuelle d'imposer la croissance modérée est de demander l'holomorphie en les pointes : tu as donc retrouvé cette équivalence.
Je te recommande la lecture de Borel, automorphic forms on SL2 pour voir tout cela. Cf aussi Shimura sur les formes automorphes.
Enfin, ces histoires de 'entières' viennent du fait que si le "groupe d'invariance" $\Gamma$ (par rapport auquel une forme est automorphe) n'est pas arithmétique -- c'est un groupe discret -- dans le cas de ${\rm SL(2)}$, $\Gamma$ ne contient pas toujours le groupe des matrices unipotentes à coeff. entiers entièrement -- d'où des développements en séries de Fourier en $\exp (2i\pi nz/h)$ avec un certain $h >0$ souvent... Mais pas pour les sous-groupes de congruences principaux $\Gamma_0(N)$..

Chessmaster

Ah pardon,mauvais lien je ne parlais pas de Cartan,mais de R.Godement c'est celui là:

http://www.google.fr/url?sa=t&amp;rct=j&amp;q=&amp;esrc=s&amp;source=web&amp;cd=4&amp;ved=0CEUQFjAD&amp;url=http://archive.numdam.org/article/SB_1951-1954__2__237_0.pdf&amp;ei=AsVuUdUQybs5oKCAwAk&amp;usg=AFQjCNFw3LZLO8V-WMyY5GgMDxPEPaPm1Q&amp;sig2=5_TLhSw6McmtnNQUkjvm-w&amp;bvm=bv.45368065,d.ZWU&amp;cad=rja

Dionysos

Bonjour,

Je reprends ma réponse précédente : le mot "entière" dans "forme modulaire entière" vient de la distinction suivante :
Une forme modulaire est une fonction $f$ vérifiant :
1) la condition d'automorphie $f_{|\gamma} = f$ pour toute $\gamma\in\Gamma$, $\Gamma$ étant le sous-groupe de ${\rm SL}_2(\bf\R)$ par rapport auquel $f$ est modulaire,
2) l'holomorphie en les pointes : $f$ est holomorphe en les pointes de $\mathfrak{h}/ \Gamma$, ie le développement en série de Fourier en toute pointe [de la forme $\sum\n a_n \exp \big(2i\pi n\sigma(z)\big)$] ne contient pas de coeff. d'indice $< 0$, cf Iwaniec ou Bump Cogdell Kudla "Langlands programs"

Comme je le disais plus haut, 2) revient à imposer le caractère borné sur le domaine fondamental comme tu le disais -- ou une croissance modérée selon les [classes d'équivalence des] tores maximaux du groupe ambiant -- qui est ${\rm GL}_2$ dans le cas des formes modulaires classiques. Cf à nouveau Borel sus-nommé, et aussi la lecture note de Springer du même auteur.

J'ajoute aussi Gelbart, Bump automorphic forms, Corvallis 1979 en ligne ams, Antwerp springer, Cogdell-lectures on L functions etc, Goldlfeld et al sur les sujets : ce que tu demandes, personne d'autre que toi ne peut le faire, après lecture de toutes ces pages. Il n'est pas question d'aboutir à un résultat et de se dire : on doit pouvoir montrer un truc avec ça... C'est à l'envers, se donner un but, PUIS les moyens de le montrer... C'est dur, mais le sujet en vaut le coup !
Bonne chance.

[Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]

Chessmaster

Bonjour, j’espère que vous passez tous de bonnes vacances.J'ai une question d'ordre général qui s’adresse à tous (même à ceux qui ne connaissent pas les formes modulaires)

La date limite de mon ter approche (2 mai) je suis en train de rédiger "ma" partie sur les séries d'Eisenstein (c'est du plagiat de Serre cours d'arithmétique,enfin tous les autres travaux d'étudiants sur le sujet font comme ça...) et voilà que je trouve ce qui est, selon moi, une confusion de vocabulaire sur "faiblement modulaire" (qu'il définit page 131) sans aucune importance mais la phrase "ce qui précède montre que $G_k$ est faiblement modulaire" (page 137) est fausse puisque à ce stade, il n'a absolument pas parlé du caractère holomorphe de $G_k$ (ce qu'il va faire 2 lignes plus loin). Il semble que cette "erreur" se retrouve dans les 4 éditions (il y a des corrections/améliorations entre les différentes éditions je suppose ?) Apparemment ce livre c'est THE référence tout le monde l'a lu, tout y est très bien expliqué (j'ai pas le niveau pour en juger)

Ma question : Est-ce que vous pensez que je peux faire remarquer dans mon rapport que j'ai vu cette erreur ou je laisse tomber ça fait trop pédant ?

Merci à ceux qui répondront.

Chessmaster

Merci pour cette correction AD, je vois que tu tiens aux majuscules pour les noms propres. À ton avis ça passe ce genre de remarque ou ça fait trop "jme la pète" ? (surtout si à coté il y a des fautes débiles, et il y en a surement...)

dionysos-bis

je vous déconseille fortement cela... d'abord, je doute fort de ladite "erreur" -- de mémoire, pour Serre faiblement modulaire veut dire holomorphe en les points du demi plan de Poincaré + automorphie/invariance ce qui a bien été fait; il reste donc à prouver l'holomorphie en les pointes, ce qu'il va faire deux lignes après, pour obtenir que ces séries sont bien ("fortement" donc) modulaires. where is the problem?

2 il ya une certaine déontologie à respecter en recherche; et du respect pour les mathématiciens -- surtout d'une telle pointure! ... surtout que ton rapport risque de contenir de (vraies) erreurs, ce qui est normal; je ne crois pas que l'on puisse prouver que l'on a compris en pointant les "erreurs" des autres. Faites donc mieux qu'eux!
Faites un beau rapport, bien clair, et ce sera parfait!