l²(IR)

dans Concours et Examens
Bonjour à tous.Je bosse pour les oraux de l'agreg interne et j ai une question qui me tracasse depuis un petit moment.
Je veux montrer que l²(IR) est complet.
Soit (Up) est une suite de Cauchy.
Pas de problème pour définir l’éventuelle limite et pour montrer que cette suite (U) est dans l²(IR). Pour montrer que (U) est bien dans la limite de (Un) ne peut-on pas passer directement à la limite quand p tend vers l'infini dans l'inégalité Somme de n=0 à + inf ((Up(n) – Uq(n))²<A (A étant ce qui est appelé habituellement epsilon) en évoquant une continuité .
Désolé, je ne maitrise pas Latex, il va falloir m'y mettre .
Je veux montrer que l²(IR) est complet.
Soit (Up) est une suite de Cauchy.
Pas de problème pour définir l’éventuelle limite et pour montrer que cette suite (U) est dans l²(IR). Pour montrer que (U) est bien dans la limite de (Un) ne peut-on pas passer directement à la limite quand p tend vers l'infini dans l'inégalité Somme de n=0 à + inf ((Up(n) – Uq(n))²<A (A étant ce qui est appelé habituellement epsilon) en évoquant une continuité .
Désolé, je ne maitrise pas Latex, il va falloir m'y mettre .
Réponses
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C'est un peu trop vague à mon goût. Comment as-tu défini $U$ ? Qu'appelles-tu "passer directement" ?
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La suite (Up) étant de Cauchy, on montre facilement qu' à n fixé, la suite (Up(n)) est de Cauchy dans IR , elle converge vers un.Et je définis U=( un).Je veux montrer que U est la limite de (Up), sachant que j'ai prouvé qu'elle appartient à l²(IR).Je ne sais pas si c'est plus clair comme çà.
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Ce que tu appelles $\ell^2(\R)$, c'est $\ell^2(\N)$ ?
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oui, c'est l²(IN)
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Voir par exemple :
http://www.math.polytechnique.fr/~golse/MAT311-10/cours311-5.pdf
page 9.
A propos de la notation, j'avais toujours vu $\ell^2(\R)$, mais il semble que les textes récents donnent $\ell^2(\N)$. Tout change ...
Bonne journée.
RC -
La notation la moins ambiguë serait $\ell^2(\N,\R)$, ou encore $\ell^2_\R(\N)$.
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Pour moi $\ell^p(X)$ est l'espace $L^p$ construit de manière standard sur l'espace mesuré $(X,\mu)$, où $\mu$ est la mesure de comptage sur $X$. Donc $\ell^2(\R)$ est un très gros espace de Hilbert (non séparable), alors que $\ell^2(\N)$ est le bon vieil espace de suites.
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