QDV 20: une formule curieuse de Liouville

Bonjour à toutes et à tous;

Vers 1857, Liouville s'intéresse à la formule indiquant que la somme des cubes des n premiers entiers vaut le carré de la somme des n premiers entiers et la généralise en différentes "formules curieuse" (dixit Liouville) comme:

« Étant donné un entier impairement pair et qui n’ait aucun facteur de la forme 4 mu + 3, décomposez tous ses diviseurs pairs (dont l’entier donné lui-même fait partie) en une somme de deux carrés impairs, et cherchez pour chaque diviseurs le nombre total des décompositions en deux carrés dont il est susceptible : la somme des cubes de ces nombres sera égale au carré de la somme de ces nombres eux-mêmes ».

a) "Vérifiez" pour le nombre 50 (c'est l'anniversaire d'une de mes très proches aujourd'hui!!)
b) Démontez & démontrez les curiosités de Liouville.

Bonne journée. Norbert p/o Le Comité Du Vendredi.

Réponses

  • Bonjour,

    a) $n=50$ a trois diviseurs pairs:
    $50=1^2+7^2=7^2+1^2=5^2+5^2$ : 3 décompositions
    $10=1^2+3^2=3^2+1^2$ : 2 décompositions
    $2=1^2+1^2$ : 1 décomposition
    on vérifie bien: $3^3+2^3+1^3=(3+2+1)^2$.

    b) Généralisation à $n=2\prod_k p_k^{\alpha_k}$ avec $p_k$ nombre premier congru à 1 modulo 4.
    Pour chaque diviseur pair $d=2\prod_k p_k^{\beta_k}$ de $n$ il y a $f(d)=\prod_k(\beta_k+1)$ décompositions en somme de deux carrés (en distinguant $a^2+b^2$ et $b^2+a^2$ si $a\neq b$).

    $\sum_{d|n}f(d)=\prod_k(1+2+...+(\alpha_k+1))$.
    $\sum_{d|n}f(d)^3=\prod_k(1^3+2^3+...+(\alpha_k+1)^3)$.

    Puisque $(1^3+2^3+...+n^3)=(1+2+...+n)^2$ on a bien $\sum_{d|n}f(d)^3=(\sum_{d|n}f(d))^2$.
  • Il est aussi connu que

    $$\sum_{d \mid n} \tau(d)^3 = \left ( \sum_{d \mid n} \tau(d) \right )^2$$

    où $\tau(d)$ est le nombre de diviseurs de $d$.

    (démonstration : ce sont des identités de convolution de Dirichlet, elles se démontrent donc sur les puissances de nombres premiers uniquement).
  • ... en fait la formule centrale que Liouville nomme curieuse dans son article de 1857 est celle que donne Duroc. Elle n'était pas connue de Liouville. Était-elle connue avant? Je l'ignore. À suivre. Norbert.
  • Norbert Verdier a écrit:
    Était-elle connue avant?

    J'en mettrais ma main à couper ! Il s'agit ni plus ni moins d'une identité issue du produit de convolution de Dirichlet, utilisé bien avant Liouville.

    [Corrigé selon ton indication. AD]
  • ... a priori je pensais la même chose mais Liouville et Dirichlet étaient des amis. Et Liouville connaissait très bien l'œuvre de son ami. Dans son article, "Généralisation d'un théorème issu de l'arithmétique indienne http://portail.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1857_2_2_A35_0.pdf , il semble en tout cas ignorer l'existence de cette formule. De plus Dirichlet (ni personne à ma connaissance) ne réagit pas à l'article de Liouville. Le produit de convolution de Dirichlet résulte d'une relecture post Dirichlet. C'est à regarder de plus près. Bon dimanche. Norbert.

    [Activation du lien. AD]
  • donc l'emploi du conditionnel dans l'expression "en mettre sa main à couper" est plus sage ;)
  • Merci pour cet article de Liouville.

    Pas évident de savoir si telle ou telle identité est antérieure ou postérieure à un(e) mathématicien(ne) donné(e).

    Il me semble que les manipulations sur certaines de ces identités de convolution étaient familières d'Euler, me semble-t-il, mais c'est à vérifier (notamment avec le totient d'Euler).

    C'est d'ailleurs d'autant plus difficile à vérifier qu'aujourd'hui, elles sont passées dans la pratique (j'allais dire "le langage") courante.
  • ... Une piste méthodologique pour savoir si cette formule est précisément identifiée ailleurs serait de consulter History of the theory of numbers de L. Dickson http://archive.org/details/historyoftheoryo01dick . Le chapitre X (Sum and number of divisors, p. 279-325) recense des dizaines de formules d'arithmétique. J'ai parcouru très (trop) rapidement pour trouver la "formule curieuse" et n'ai pas trouvé ... Si d'autres curieux/curieuses ont envie ... Bonne journée.
    Norbert.

    [Activation du lien. :) AD]
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