Suite numérique

ninadu561

₁B₁C₁D₁ est un carré de côté égal à 10 cm.
On construit le carré A₂B₂C₂D₂ à partir des milieux des côtés du carré A'B'C'D' comme le montre la figure. On poursuit ainsi la construction et on obtient une suite (A_nB_nC_nD_n) de carrés emboités.
Combien de carrés faut il construire pour que le périmètre du plus petit soit inférieur à 0,6 cm ?
Je remercie ceux qui voudront bien m'aider

Toto.le.zero

Exprime le côté du $n+1$-ème carré à partir du côté du $n$ carré... (Pythagore !)

ninadu561

desole je n'ai pas compris ce que tu m'a dit de faire

sadfub0

Appelons $\mathcal C_1 $ le coté de$ A_1B_1C_1D_1$ alors $\mathcal C_1 =10 cm$

pour tout entier$ n $, appelons $\mathcal C_n $ le coté de$ A_nB_nC_nD_n$

Ce que te propose Toto.le.zero c'est d'appliquer le théorème de Pythagore pour trouver une relation entre $\mathcal C_{n+1}$ et $\mathcal C_n$

Fin de partie

1) Commence par calculer le périmètre de $A_2B_2C_2D_2$

2) Puis celui de: $A_3B_3C_3D_3$

3) Puis essaye de conjecturer une formule qui donne le périmètre de $A_nB_nC_nD_n$ pour n quelconque.

4) Démontre la formule (par récurrence par exemple)


Nous ignorons dans quelle classe tu es: seconde? première? terminale?

Une alternative est la suivante:

Tu calcules le périmètre de $A_2B_2C_2D_2$, $A_3B_3C_3D_3$, de $A_4B_4C_4D_4$,...
Et tu t'arrêtes quand le périmètre est inférieur au nombre donné.

(si tu n'as pas de chance, c'est à dire qu'il faille considérer un trop grand nombre de carrés, tu seras obligé de procéder comme expliqué plus haut)

Fin de partie

Une autre alternative est la suivante:

On peut trouver une relation simple entre l'aire de $A_1B_1C_1D_1$
et l'aire de $A_2B_2C_2D_2$ (il suffit de faire un quadrillage de triangles bien choisis pour s'en persuader)
Cette relation sera encore vraie entre :

$A_2B_2C_2D_2$ et $A_3B_3C_3D_3$
$A_3B_3C_3D_3$ et $A_4B_4C_4D_4$
etc...
Ce qui permet d'écrire une formule qui donne l'aire de $A_nB_nC_nD_n$ pour $n>1$ quelconque.

Et par ailleurs, on a une relation simple entre l'aire d'un carré et son périmètre.


En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.

ninadu561

Bonjour
Merci pour toutes vos aides
Petite info, je suis en première mais les maths ce n'est pas mon fort.
Je n'arrive pas à trouver de formule