Symétriser une matrice

clemclem

Bonjour,

Je cherche à savoir à quelles conditions sur la matrice $A\in \mathcal{M}_n(\R)$ existe-t-il $P\in {GL}_n(\R)$ telle que $PAP^{-1}\in \mathcal{S}_n(\R)$.

Et de manière plus générale, s'il y a des conditions sur $A_1$,...,$A_p$ des matrices à coefficients réelles pour qu'il existe $P\in {GL}_n(\R)$ telle que $PA_1P^{-1}\in \mathcal{S}_n(\R),\ldots,PA_pP^{-1}\in \mathcal{S}_n(\R)$.

Merci d'avance

GreginGre

Pour la première question, que te dit le théorème spectral sur les matrices symétriques réelles ?

Tu en déduiras alors une condition nécessaire, qui sera aussi suffisante.

Ensuite, pour la deuxième question, c'est un peu plus délicat, je pense.

clemclem

Effectivement, la première question est évidente. Malheureusement, c'est la deuxième qui m'intéresse plus particulièrement.

dSPautaf

Pour la deuxième question, une condition nécessaire
est que toute combinaison linéaire des $A_i$ soit diagonalisable.
Malheureusement, cette condition n'est pas suffisante en général.
Elle l'est en revanche pour $n=2$ ou pour $p=\frac{n(n+1)}{2}$, voir
http://arxiv.org/abs/1007.1983

AD

Bonjour
Pour la 2ème question, une condition suffisante est que les $A_i$ soient scalaires : $A_i= a_iI_n, \ a_i\in \R$.
Et dans ce cas, toutes les $P\in GL_n(\R)$ conviennent.
Alain

GreginGre

Une autre condition suffisante est que les matrices commutent deux à deux. Dans ce cas, elles sont codiagonalisables et tout va bien.

GreginGre

Une condition nécessaire est que chaque $A_i$ soit diagonalisable , bien entendu.

clemclem

Ok merci de votre aide.

De plus, il m'intéresserait de savoir si en pratique il est possible d'obtenir une telle matrice.

Merci d'avance.

clemclem

Que se passe-t-il si les matrices sont semblables ? Cela simplifie-t-il les choses ?

Amédé

Il y a des bases de réduction simultanée, sous certaines conditions.

clemclem

Quelles sont ces conditions ?