Un alignement

Jean-Louis Ayme1

Bonsoir,

je vous propose ce problème rencontré dans la littérature géométrique.

(1) ABC un triangle
(2) (I) le cercle inscrit de ABC de centre I
(3) E, F les points de contact de (I) resp. avec (AC), (AB)
(4) D le point d'intersection de (AI) et (BC)
(5) (M) le cercle de diamètre [BC] et de centre M
(6) N le point d'intersection de (AM) et (EF)
(7) X, Y les seconds points de (M) resp. avec (BI), (CI).

Prouver que les milieux de [BY], [DN] et [CX] sont alignés.

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme1

Bonjour,
je reviens sur le problème posé...pour lequel une preuve synthétique est attendue...
Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Bon, je me charge de la figure:

Bouzar

Bonjour
J'ai une solution avec les coordonnées barycentriques.

Jean-Louis Ayme1

Bonsoir,
je pense à une application d'un résultat d' Eugène Catalan

http://perso.orange.fr/jl.ayme vol. 6 De théorème de Césaro à une droite parallèle à l'axe de Brocard p.8-10.

Sincèrement
Jean-Louis

Bouzar

Bonjour Jean-Louis

Peux-tu énoncer le résultat d' Eugène Catalan.
Cordialement

poulbot

Bonjour
j'ai changé un peu les notations en appelant $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ les points de contact du cercle inscrit avec les côtés de $ABC$.

Si $U=BY\cap CX$, $I$ est l'orthocentre du triangle $UBC$ et $A^{\prime }XY$ son triangle orthique. Les droites $IA^{\prime },IX,IY$ sont donc bissectrices respectivement des couples de droites $\left( A^{\prime }X,A^{\prime }Y\right) ,\left( XY,XA^{\prime }\right) ,\left( YA^{\prime },YX\right) $.
$B^{\prime }$ et $C^{\prime }$ étant les symétriques de $A^{\prime }$ par rapport à $IY$ et $IX$ sont donc sur la droite $XY$.
$A^{\prime }B^{\prime }$ et $UY$ sont perpendiculaires à $IC$; $A^{\prime }C^{\prime }$ et $UX$ sont perpendiculaires à $IB$; ainsi une homothétie $h$ transforme $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ en $U,Y,X$.
Mais $\left( M_{a}C,M_{a}X\right) =2\left( BC,BX\right) =\left( BC,BA\right) $ et $M_{a}X\parallel AC^{\prime }$; de même $M_{a}Y\parallel AB^{\prime }$. On a donc $h\left( A\right) =M_{a}$ et $N$ est le centre de l'homothétie $h$.
La similitude indirecte $\sigma $ qui transforme $I,B,C$ en $I,Y,X$ transforme aussi $A$ en $A^{\prime }$ (puisque les droites $BA$ et $CA$ sont symétriques de la droite $BC$ par rapport aux droites $IB$ et $IC$).
On a aussi $\sigma \left( D\right) =\sigma \left( IA\cap BC\right) =IA^{\prime }\cap YX=N$.
$\sigma $ induit ainsi une application affine de la droite $BC$ sur la droite $YX$ qui transforme $B,C,D$ en $Y,X,N$.
Il en résulte que les milieux de $\left[ BY\right] ,\left[ CX\right] ,\left[ DN\right] $ sont alignés.
Cordialement. Poulbot

poulbot

J'ajoute, pour les amateurs de coordonnées barycentriques (qui ici sont simples) que, avec $a+b+c=2p$, on a
$A^{\prime }=\left[ 0,p-c,p-b\right] $; $X=\left[ a,c-a,c\right] $; $Y=\left[ a,b,b-a\right] $; $D=\left[ 0,b,c\right] $; $N=\left[ a,p-a,p-a\right] $; $U=\left[ a,c-a,b-a\right] $.
Cordialement. Poulbot