Calcul d'intégrales

bmo

Bonjour,
Je suis à la recherche du résultat de cette intégrale
$\int_0^1(\int_u^1(\int_v^1(\int_1^{1+w}dt)dw)dv)du$
et plus généralement de
$\int_0^1(\int_{x_1}^1(\int_{x_2}^1(........\int_1^{1+x_{n-1}}dx_n).....dx_3)dx_2)dx_1$
Merci pour votre intérêt.

Magnolia

Bonjour

Pour lancer la machine...

$\int_1^{1+w}dt=w$
$\int_v^1w\,dw=\dfrac{1-v^2}{2}$
$\int_u^1\dfrac{(1-v^2)}{2}\,dv=...$

bmo

Re

Je veux si possible la valeur de cette intégrale (surtout la deuxième). Je ne dispose d'aucun logiciel de calcul.

Merci.

sadfub0

Bonsoir,

$\int_0^1(\int_{x_1}^1(\int_{x_2}^1(\ldots \int_1^{1+x_{n-1}}dx_n)\ldots dx_3)dx_2)dx_1 =\int_0^1(\int_{x_1}^1(\int_{x_2}^1(\ldots (\int_{x_{n-2}}^1x_{n-1}dx_{n-1})\ldots dx_3)dx_2)dx_1$
$=\int_{D_n}x_{n-1}dx_1.dx_2\ldots dx_{n-2}dx_{n-1}$ où
$ D_n=\{0 \leq x_1 \leq x_2 \leq\ldots \leq x_{n-2}\leq x_{n-1}\leq 1 \}$=$\int _0^{1}x_{n-1}mes(A_n)dx_{n-1}$ où
$ A_n=\{0 \leq x_1 \leq x_2 \leq\ldots \leq x_{n-2}\}$

En posant $ B_n=\{0 \leq y_1 \leq y_2 \leq\ldots \leq y_{n-2} \leq 1\}$ qui est une homothétie de $ A_n$
On peut conclure sachant que $ mes(B_n)= $

zephir

Bonsoir,
C'est le calcul de l'hyper-volume d'une hyper-pyramide dans $\R^n$.
On essaie avec $n=2,3,4$ et on trouve une relation de récurrence ?

sadfub0

Bonjour,
oups erreur dans la définition de $ A_n=\{0 \leq x_1 \leq x_2 \leq\ldots \leq x_{n-1}\}$

$ mes(B_n)=\frac{1}{(n-2)!}$ donc par homothétie on a $ mes(A_n)=\frac{x_{n-1}^{n-2}}{(n-2)!}$



et le résultat final est $ \frac{1}{n(n-2)!}$

sadfub0

en poursuivant les calculs de magnolia on trouve $\int_0^1(\int_u^1(\int_v^1(\int_1^{1+w}dt)dw)dv)du=\frac{1}{8}$ qui coincide avec $\frac{1}{4*2!}$ car ici$ n=4$