mesure produit

dfshr8

bonsoir

Problèmes
1) Je dois trouver un exzemple de mesure sur R^2 munis de satribu borélienne qui ne soit pas une mesure produit

2) Soit $(X, A, \mu)$ un esp mesuré et $y \in Y$ (espace mesurable) :calculez la mesure produitv $\mu \otimes \delta_{y_0}$

Tentative de résolution
Pour 2) j'intègre par rapport à $ \int_X \delta_{y_0}(A^x) d\mu(x)$

aléa

Indication:

dfshr8

Si l' on suppose que $m=1_T d\lambda_{R^2}$ est une mesure produit, alors il exite deux mesures m_1 et m_2 sur B(R) tel que $m=m_1m_2$

sadfub0

essaye la mesure de Lebesgue du projeté orthogonale sur l'un des axes.

dfshr8

Désolmé mais je ne comprend pas c'est trop abstrait pour moi je crois que ce soir je ne comprendrais pas

dfshr8

Pour 2) qui mle semble plus simple est ce que ceci est simùplifiable ?$ \int_X \delta_{y_0}(A^x) d\mu(x)$

sadfub0

$ \int_X \delta_{y_0}(A^x) d\mu(x)$ non simplifiable , essaye plutôt l'autre en intégrant par rapport à y

aléa

1) Si on suppose que le sommet de l'angle droit est en (0,0) et que les autres sommets sont en (1,0) et (0,1), on peut s'intéresser à la mesure de $]1/2,+\infty[^2$.

sadfub0

@aléa: j'avoue que je ne comprends pas tes indications

sadfub0

Ah je vois

dfshr8

Je souhaite montrer que pour toute fonction mesurable(mettons positive)$ \int_X f d\delta_{y_0}=f(y_0)$ Je me suis dit que la démarche est de le montrer pour les fonctions étagées puis utiliser le lemme d' approximation et la convergence monotone pour conclure sur f

sadfub0

Ta démarche est exacte