convolutions de fonctions caractéristiques

Kito

Bonjour,

Soit $\varphi_\epsilon$ une suite régularisante.
Si $\phi_E=\varphi_\epsilon\ast\chi_E$ avec $\chi_E$ la fonction caracteristique de $E$.

Comment peut on prouver que $\phi_{E\cup F}=\phi_E\vee\phi_F$ et $\phi_{E\cap F}=\phi_E\wedge\phi_F$
ou $f\vee g=\max\{f,g\}$ et $f\wedge g=\min\{f,g\}$ pour toutes fonctions $f$ et $g$.

Merci d'avance.

girdav

Bonjour,
je ne comprends par la deuxième formule : si $E$ et $F$ sont disjoints et de mesure non nulle, $\phi_{E\cap F}=0$ sans que $\phi_E$ ou $\phi_F$ ne le soit.

Kito

Oui en effet. Mais dans ce cas si on oublie la suite regularisante pour un moment alors on a $\chi_{E\cap F}=\chi_E \wedge \chi_F$ qui est pourtant vrai.

sadfub0

Bonsoir

il faut regarder à quelles conditions on a $ h*Max(f,g)=Max(h*f,h*g)$ en s'aidant de la linéarité du produit de convolution et$ Max(a,b)=(a+b-\vert a-b\vert )/2$

Kito

Malheureusement je ne trouve aucune condition à imposer sur quoi que ce soit.
J'ai exprimer $|\chi_E-\chi_F|$ en ces quatre differentes valeurs et appliquer la convolution.

Kito

Bonjour,

Je viens de me rendre compte que la condition pour que ca soit vrai est que l'intersection soit pas vide. Merci beaucoup.