précompacité de N

Hello,

J'ai l'impression que $\mathbb{N}$ est précompact pour une distance $d$ si et seulement si $\infty$ est un point d'accumulation pour $d$, est-ce correct ?
D'ailleurs quelle est la complétion de $\mathbb{N}$ pour la distance usuelle ?

Réponses

  • L'ensemble $\mathbb{N}$ muni de la distance usuelle est complet.
  • Ah oui mince, en plus c'est ce que j'avais en tête dans ma proposition : complet mais pas compact, donc pas précompact.
  • À part ça, êtes-vous ok avec ma proposition ?

    - Si $\infty$ n'est pas un point d'accumulation alors $(\N, d)$ est complet (les suites de Cauchy sont stationnaires) et pas compact (la suite $(n)$ n'a pas de sous-suite convergente)

    - Si $\infty$ est un point d'accumulation alors le compactifié $(\N\cup\{\infty\} , \bar{d})$ est complet.

    Est-ce correct ? Est-ce que la notion "$\infty$ est un point d'accumulation" est standard ?
  • Premier problème : Que signifie que $\infty $ est point d'accumulation alors qu'il n'est pas dans l'espace où la distance est définie.

    Deuxième problème : Même si on peut prolonger la distance à ${\mathbb N }$ de telle sorte que $\infty $ devienne un point
    d'accumulation, ça n'en fait pasforcément un espace complet (par exemple, les nombres pairs pourraient s'accumuler à un endroit, les nombres impairs à un autre ; où verrais-tu placé $\infty $ pour tout compléter à lui seul ?).
  • @bosio,

    1) C'est pourquoi j'ai posé la question:
    SN a écrit:
    Est-ce que la notion "$\infty$ est un point d'accumulation" est standard ?

    2) Tu as un exemple d'une telle situation ?
  • Soit $E=\{\frac{1}{n}|n\in \N^*\} \bigcap \{\frac{-1}{n}|n\in \N^*\} $ munie de la distance induite par la distace usuelle sur $\R$ . Alors l'adhérence de $E$ est compacte, possède deux points d'accumulation et est dénombrable, d'où une distance sur $\N$ possédant encore ces propriétés.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Salut Foys,

    $\cup$ plutôt que $\cap$ non ? Et il n'y qu'un seul point d'accumulation... Prenons plutôt la suite $u_n = (-1)^n \left[ 10-2^{-n} \right]$, et $d(n,m)=|u_n-u_m|$ sur $\N$. On peut même avoir une infinité de points d'accumulation, avec $d(n,m)=|\sin n -\sin m|$, sauf si je raconte encore n'importe quoi.

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Oui je pensais en fait à $\{1-\frac{1}{n}|n\in \N^*\} \bigcup \{-1+\frac{1}{n}|n\in \N^*\} $ bien sûr!
    Au temps pour moi.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • No soucaille :) Moi aussi j'ai dit une bêtise (et je la sentais venir en plus) : avec $d(m,n)=|\sin n - \sin m|$, $\N$ n'est plus discret. En revanche on peut tout de même avoir une infinité dénombrable de points d'accumulation : choisir une bijection $\phi$ de $\N$ sur $\N^2$, et envoyer isométriquement $\N$ dans $\R^2$ en envoyant $n$ sur $(\phi_1(n),2^{-\phi_2(n)})$. Peut-il y avoir une infinité indénombrable de points d'accumulations ?
  • Quelques faits utiles:
    1) un espace séparé, dénombrable et de Baire possède toujours un point isolé (ça nous concerne car on cherche des compacts ou des distances complètes sur $\N$)
    2) tout compact $F$ de $\R^2$ est l'ensemble des points d'accumulation d'une partie dénombrable de $\R^2$ (on peut remplacer $\R^2$ par un espace métrique séparable sans points isolés).

    Pour le voir, remarquer qu'on peut construire pour tout $n \in \N^*$ un ensemble fini $A_n$ de sorte que $B(x,2^{-n}) \cap F \neq \emptyset$ pour tout $x \in A_n$ et $B(y,2^{-n}) \cap A_n \neq \emptyset$ pour tout $y \in F$, et en outre: $A_p \cap A_q=\emptyset$ lorsque $p \neq q$ (par récurrence on choisit $A_n$ disjoint de $\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$ ce qui est possible car l'espace ambient est sans points isolés). La réunion des $A_n$ convient.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci pour ces infos et ces réflexions, que je n'ai pas encore étudiées.
    Dans mon cas je disais que $\infty$ est un point d'accumulation lorsque $d(n,n+1) \to 0$. Mais mes métriques $d$ possibles sont très particulières (ce sont même des ultramétriques). Dans un cas j'ai $d(n,n+1) \to 0$ et dans l'autre $d(n,n')>\epsilon>0$ pour tous $n\neq n'$. Bref ce n'est pas très utile que je me pose des questions dans le cas général mais c'est l'occasion de me rafraichir les méninges en topologie.
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