Faisceau de sphères

Bonjour,
j'ai une question complexe (:P) sur les faisceaux de sphères. On peut distinguer, dans l'espace affine euclidien 3D réel, les faisceaux :
- à base cercle (toutes les sphères contiennent un même cercle)
- tangent (toutes les sphères sont tangentes en un point)
- de Poncelets (il y a deux points limites).

Dans le complexifié de l'espace affine réel, les faisceaux de Poncelets sont a priori des faisceaux à base cercle imaginaire. Peut-on dire qu'un faisceau à base cercle réel est un faisceau de Poncelet à points imaginaires ?

Merci d'avance à toute personne qui me répondra.

Lionel

Réponses

  • Bonjour Lionel.

    C'est le cas dans un plan, si la faisceau de cercle possède deux points de base A et B, les isotropes de ces points se coupent deux à deux, mais seuls deux de ces points U et V sont dans le plan affine complexifié, les deux autres sont les points cycliques I et J. Les deux points U et V, qui sont imaginaires conjugués sont les centres de deux cercles de rayon nul et passant par A et B. Je pense que si tu fais tourner un plan diamétral dans le cas des faisceaux de sphères à cercle de base, tu obtiens ainsi les deux sphères à centres imaginaires conjugués et de rayon nul.

    Bruno
  • Salut Bruno,
    c'est bien ce que je pensais après avoir lu la partie adéquate de ton livre.

    Lionel
  • Une petite vérification analytique.

    Je me donne un cercle $\Gamma$ dans l'espace de centre $O$ et de rayon $r$. Je prends pour axe des abscisses l'axe du cercle (droite normale à son plan et passant par le centre) orientée comme on veut et dont $O$ est l'origine ; enfin on complète le repère cartésien orthonormé par deux vecteurs orthogonaux et de norme $1$ du plan du cercle.

    Dans ces conditions, la sphère du faisceau à cercle de base $\Gamma$ centrée en $A(a,0,0)$
    a pour équation cartésienne :\[x^2 +y^2 +z^2 - 2a\,x - r^2 = 0\] son rayon $\rho$ se calcule par la formule de la puissance de $O$ c'est $\rho^2 = a^2 + r^2$ il est nul pour :\[a = \pm i\,r\] ce qui nous donne les deux sphères points imaginaires conjuguées du faisceau d'équations cartésiennes respectives :\[(x - i\,r)^2 + y^2 + z^2 = 0 \textrm{\quad et\quad} (x + i\,r)^2 + y^2 + z^2 = 0\]

    Bruno
  • Merci pour le calcul.;)

    Lionel
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