convergence au sens de Cesàro

phenix3

Bonjour,
Une question qui apparait dans l'épreuve B du concours X MP 2012. Si quelqu'un sait comment la résoudre.

a(n) est la suite de terme général : (-1)^n.n^[alpha] (c'est n^[alpha] en alterné) avec alpha dans ]0,1[.
Montrer que (a0+a1+a2+...+an)/(n+1) est convergente.
Dans le rapport du jury, ils expliquent qu'on peut le montrer en utilisant une transformation d'Abel à la série de terme général (-1)^n

[Ernesto Cesàro (1859-1906) mérite bien une majuscule. AD]

egoroffski

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ? L'indication donnée par le jury semble tout à fait raisonnable...

phenix3

En fait pour se mettre sous les hypotheses de la transformation d'Abel, il faut avoir une serie de terme general: e(n).u(n) où e(n) décroit positivement vers 0, et la suite des sommes partielles u(0)+.....+(n) soit bornée. Et donc pour cette question je ne vois pas ces conditions de la transformation d'Abel à part que la serie du terme général (-1)^n est borné.

J'ai vu des corrigés de cette question mais avec des méthodes moins évidentes.

Le jury mentionne également que cette question (3ème dans l'ordre de l'énoncé) à été majoritairement ratée.

Siméon0

La transformation d'Abel, c'est seulement l'égalité $$
\sum_{a < k \leq b} u_k v_k = \big[U_k v_{k+1}\big]_{k=a}^{k=b} - \sum_{a < k \leq b} U_k (v_{k+1}-v_k)
$$ où $U_k = \sum\limits_{a < j \leq k} u_j$ (à une constante additive près en fait).

Ici, le choix $a=0,\ b=n,\ u_k=(-1)^k,\ v_k=k^\alpha$ vérifie $|U_k| \leq 1$ et donc $$
\bigg|\frac{1}{n+1} \sum_{k = 0}^n (-1)^k k^\alpha \bigg| \leq \frac{(n+1)^\alpha}{n+1} + \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n ((k+1)^\alpha - k^\alpha) = 2 (n+1)^{\alpha-1}
$$
[Corrigé ($a_k$ par $k^\alpha$) selon ton indication. AD]

Siméon0

Erratum : il faut remplace $a_k$ par $k^\alpha$ dans la dernière ligne du message précédent.

J'en profite pour signaler qu'une méthode plus "évidente" consisterait à regrouper directement les termes deux par deux... $\sum_{k=0}^n (-1)^k k^\alpha = (2^\alpha - 1^\alpha) + (4^\alpha - 3^\alpha) + \dots$
et à remarquer que $(n+1)^\alpha - n^\alpha$ tend vers $0$.

phenix3

C'est vrai que la deuxièmement méthode, en groupant les termes deux à deux est plus simple, encore fallait-il y penser. Mais je voulais voir comment faire avec la transformation d'Abel.
Merci

jydu56

@Simeon :

h

@jydu56 : non, c'est juste une suite extraite (on ne prend que les termes pairs (ou que les termes impairs)).

jean lismonde

bonsoir

ta moyenne arithmétique des $n + 1$ termes peut s'écrire :

$S_n = \frac{- 1 + 2^\alpha - 3^\alpha + 4^\alpha - .........+ (-1)^n.n^\alpha}{n + 1}$

et en passant à la limite en $n$ infini il vient :

$\lim S_n = \lim[- 1 + 2^\alpha - 3^\alpha + 4^\alpha - ...........+ (-1)^n.n^\alpha].\lim\frac{1}{n + 1}$

or la première limite correspond à l'image de $- \alpha$ par la fonction $\zeta$ alternée de Riemann
définie sous forme de série qui converge pour toute valeur réelle de la variable

et la seconde limite est nulle donc le produit des limites est forcément nul pour toute valeur réelle de $\alpha$

par exemple si $\alpha = 1/2$ alors $S_n$ admet comme équivalent asymptotique
$\frac{0,380 104 812 609 683 896 069 707 837 146 76...}{n + 1}$

si $\alpha = 3/2$ alors $S_n$ admet comme équivalent asymptotique
$\frac{0, 118 689 8.....}{n + 1}$

cordiament

remarque

Ah ! Enfin un élément intéressant : quand deux suites convergent au sens de Jean Lismonde, et qu'une des limites vaut 0, alors le produit converge au sens de Jean Lismonde vers $0$. C'est intéressant car tout le monde sur le forum sait que, par exemple, la suite $\cos(n)$ tend vers $0$ au sens de Jean Lismonde. Je suppose que pour la même raison, la suite $\cos(2n)$ tend aussi vers $0$ au sens de Jean Lismonde. Comme par une formule de trigo admise par tous, $\cos(2n)=2\cos^2(n)-1$, on en déduit en passant à la limite au sens de Jean Lismonde et d'après l'observation précédente sur les produits de suites convergentes au sens de Jean Lismonde que $0=-1$. D'où $0=1$ et tout un tas d'autres relations utiles.

xhpwh

remarque a écrit:

la suite $ \cos(2n)$ tend aussi vers 0 au sens de Jean Lismonde

Pas si clair. Je ne me rappelle pas avoir lu Jean Lismonde l'écrire.

remarque a écrit:

Comme $ \cos(2n)=2\cos^2(n)-1$, on en déduit d'après l'observation précédente sur les produits de suites convergentes au sens de Jean Lismonde que $ 0=-1$

Pas si clair. Il faudrait s'assurer qu'une suite constante converge au sens de Jean Lismonde vers sa valeur et qu'une somme de suites convergentes au sens de Jean Lismonde converge au sens de Jean Lismonde vers la somme des limites.

phenix3

Bonsoir,
Jean Lismonde, le domaine de définition de la fonction zeta alterné de Riemann est ]0,+infini[,
alors qu'ici -alpha est dans ]-1,0[, dans ça ne converge pas ici.

remarque

@ xhpwh : je prends bonne note de tes objections, qui sont parfaitement fondées. Attendons donc d'avoir plus d'éclaircissements sur la convergence au sens de Jean Lismonde.