Probabilité d'un bout au chien (tarot)

kelux
Modifié (August 2023) dans Combinatoire et Graphes
Bonjour,

Je me posais la question de la probabilité d'avoir (au moins) un bout au chien, au tarot. Pour ceux qui ne seraient pas familiers avec le tarot, je fais quelques rappels :
– le jeu de tarot est composé de 78 cartes ;
– un jeu de tarot comporte 3 bouts ;
– lors de la distribution le chien est fait de 6 cartes (à 3 ou à 4 joueurs).

Pour calculer la probabilité d'avoir un bout au chien, je me suis donc dit que je fixais une carte du chien comme étant forcément un bout (3 possibilités). Les 5 autres cartes du chien étant quelconques parmi les 77 restantes. En suivant ce raisonnement, le nombre de chiens ayant au moins un bout est donc : $3C_{77}^5$. Et la probabilité : $\frac{3C_{77}^5}{C_{78}^{6}} = \frac{3}{13}$.

La probabilité me paraissant élevée, j'ai cherché un autre moyen de calculer cette probabilité. On peut aussi considérer la proposition inverse : quelle est la probabilité de n'avoir aucun bout au chien ? Pour cela je dois prendre mes 6 cartes du chien parmi 75 cartes au lieu de 78. En suivant ce raisonnement, la probabilité d'avoir au moins un bout au chien est de $1-\frac{C_{75}^6}{C_{78}^6} = \frac{587}{2717}$.

Les deux probabilités étant différentes, je n'ai aucun doute sur le fait que l'une d'entre elles est fausse :) Mais laquelle (je penche plutôt pour la première) et, surtout, pourquoi ?

Merci de votre réponse !

Réponses

  • Bonjour,

    Avec ce procédé, tu comptes deux fois la même chose : bout1 + bout2 + une main
    et bout2 + bout1 + la même main.

    Je n'ai pas calculé pour voir si ça explique tout.

    Bonne journée.
  • Salut,

    Dans le premier calcul, tu comptes plusieurs fois l'évènement "les trois bouts sont dans le chien" par exemple. Si je reprends ton $3C^5_{77}$, c'est en fait $C^5_{77}+C^5_{77}+C^5_{77}$, ce qui correspond à $P($"l'excuse est dans le chien$)$+ $P($"le petit est dans le chien$)$+$P($"le 21 est dans le chien$)$. Mais ces trois évènements ne sont pas disjoints, et en additionnant comme tu le fais leurs probabilités tu comptes plusieurs fois les "parties communes".

    Il faudrait calculer séparément les probabilités 1) d'avoir exactement un bout 2) d'avoir exactement deux bouts 3) d'avoir les trois bouts. Mais ton dernier calcul est plus direct et plus malin. Le résultat me semble correct, et c'est corroboré par des simulations (dans le langage R) :
    > NSim <- 1000000
    > BouDanChien <- 0
    > for (i in 1:NSim)
    + {
    +   Chien <- sample(1:78,6,replace=FALSE)
    +   if (min(Chien) < 4) { BouDanChien <- BouDanChien+1 }
    + }
    > BouDanChien/NSim
    [1] 0.216684
    > 587/2717
    [1] 0.2160471
    
  • Bonjour, Kelux. Ton raisonnement pour exactement un bout, était bien parti, tu as bien trois choix pour obtenir un bout, mais ensuite il faut prendre 5 "pas bouts", parmi 75 cartes restantes pour compléter ton chien. D'où

    $3C_{75}^5$. et pas 77.

    Bien cordialement.
  • Merci à tous pour vos réponses.

    C'est plus clair maintenant !
  • laulite
    Modifié (August 2023)
    Pour compléter, voilà une autre façon de raisonner : 
    Il y a $C_{78}^3=76076$ façons de répartir 3 bouts sur les 78 cartes distribuées,
    Il y a $C_{6}^1=6$ façons de répartir 1 bouts sur les 6 cartes du chien et Il y a $C_{72}^2$ façons de répartir les 2 bouts restants sur les 72 cartes hors du chien,
    La probabilité d'avoir un bout au chien est donc $p(X=1)=\frac{C_{6}^1 C_{72}^2}{C_{78}^3}\approx 0,2016$

    On peut généraliser le calcul avec n le nombre de bouts au chien, n allant de 0 à 3:
     $p(X=n)=\frac{C_{6}^n C_{72}^{3-n}}{C_{78}^3}$

    Finalement on obtient:

     $p(X=0)\approx 0,7840$
    $p(X=1)\approx 0,2016$
    $p(X=2)\approx 0,0142$
    $p(X=3)\approx 0,0002$

    (X est la variable aléatoire qui compte le nombre de bout au chien) 
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