QD18: des questions de jadis pour aujourd'hui
Bonjour à toutes et à tous;
"Dans toute équation du troisième degré dont les racines sont a, b, c, les différences a - b, b- c, c-a s'expriment toujours en fonction rationnelle de l'une d'elle et des coefficients" alors alors? Vrai? Pas vrai?
Amicalement. Norbert p/o Le Comité du Vendredi
"Dans toute équation du troisième degré dont les racines sont a, b, c, les différences a - b, b- c, c-a s'expriment toujours en fonction rationnelle de l'une d'elle et des coefficients" alors alors? Vrai? Pas vrai?
Amicalement. Norbert p/o Le Comité du Vendredi
Réponses
-
Je pense que c'est faux.
Le polynôme:
$x^3+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}$
a pour racines:
$a=\cos(\dfrac{2\pi}{7})$
$b=\cos(\dfrac{4\pi}{7})$
$c=\cos(\dfrac{6\pi}{7})$
On peut vérifier que:
$a-b$ et $b-c$ sont racines de:
$8x^3-14x+7=0$
et que $a-c$ est racine de:
$8x^3-14x-7=0$
Est-ce que cela permet de conclure?
Par ailleurs:
Si on pose:
$u=a-b$
$v=a-c$
$w=b-c$
On peut vérifier que:
$uvw=\dfrac{7}{8}$ et $v-u=w$
ainsi:
$uv^2-u^2v=\dfrac{7}{8}$
Merci à EV pour le polynômeLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Notons l'équation $x^3+\alpha x^2 +\beta x +\gamma=0$, $a,\,b,\, c$ ses racines.
Puis $u=a-b$, $v=b-c$ et $w=c-a$. On a $S=u+v=-w$ et $P=uw=ab-b^2-ac+bc$.
Donc $P=ab+ac+bc-b^2-2ac=\beta-b^2-2ac=\beta-a^2-b^2-c^2 +a^2 +c^2 -2ac$,
ou encore $P=\beta- (a^2+b^2+c^2) + (a-c)^2 = \beta -(\alpha ^2 -2 \beta)+w^2$.
Nous avons $S=-w \quad ; \quad P=w^2 -\alpha ^2 +3\beta$
En résolvant $X^2-SX+P=0$, on exprime $u$ et $v$ avec $w; \,\alpha; \, \beta$,
mais pas en fonction rationnelle !! -
Citation:
Notons l'équation $ x^3+\alpha x^2 +\beta x +\gamma=0$
Est-ce l'expression générale d'une équation du troisième degré?
Parce que si c'est le cas:
En considérant le polynôme:
$P(x)=(X-a)(X-b)(X-c)$ avec $a=1$ $b=2$ $c=3$
Il est immédiat que $a-b$ et $b-c$ peuvent être exprimés comme des fonctions rationnelles de $a-b$.
Mais peut-être ai-je mal compris la question initiale.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
... et voici comment Koehler répondait à cette question de Réalis, en 1878: http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1878_2_17_/NAM_1878_2_17__261_1/NAM_1878_2_17__261_1.pdf
Bon dimanche. Norbert.
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