QD18: des questions de jadis pour aujourd'hui

Bonjour à toutes et à tous;

"Dans toute équation du troisième degré dont les racines sont a, b, c, les différences a - b, b- c, c-a s'expriment toujours en fonction rationnelle de l'une d'elle et des coefficients" alors alors? Vrai? Pas vrai?

Amicalement. Norbert p/o Le Comité du Vendredi

Réponses

  • Je pense que c'est faux.

    Le polynôme:

    $x^3+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}$

    a pour racines:

    $a=\cos(\dfrac{2\pi}{7})$
    $b=\cos(\dfrac{4\pi}{7})$
    $c=\cos(\dfrac{6\pi}{7})$

    On peut vérifier que:

    $a-b$ et $b-c$ sont racines de:
    $8x^3-14x+7=0$

    et que $a-c$ est racine de:
    $8x^3-14x-7=0$

    Est-ce que cela permet de conclure?

    Par ailleurs:

    Si on pose:
    $u=a-b$
    $v=a-c$
    $w=b-c$

    On peut vérifier que:
    $uvw=\dfrac{7}{8}$ et $v-u=w$

    ainsi:
    $uv^2-u^2v=\dfrac{7}{8}$


    Merci à EV pour le polynôme :)
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Notons l'équation $x^3+\alpha x^2 +\beta x +\gamma=0$, $a,\,b,\, c$ ses racines.

    Puis $u=a-b$, $v=b-c$ et $w=c-a$. On a $S=u+v=-w$ et $P=uw=ab-b^2-ac+bc$.

    Donc $P=ab+ac+bc-b^2-2ac=\beta-b^2-2ac=\beta-a^2-b^2-c^2 +a^2 +c^2 -2ac$,

    ou encore $P=\beta- (a^2+b^2+c^2) + (a-c)^2 = \beta -(\alpha ^2 -2 \beta)+w^2$.

    Nous avons $S=-w \quad ; \quad P=w^2 -\alpha ^2 +3\beta$

    En résolvant $X^2-SX+P=0$, on exprime $u$ et $v$ avec $w; \,\alpha; \, \beta$,

    mais pas en fonction rationnelle !!
  • Citation:
    Notons l'équation $ x^3+\alpha x^2 +\beta x +\gamma=0$



    Est-ce l'expression générale d'une équation du troisième degré?

    Parce que si c'est le cas:

    En considérant le polynôme:

    $P(x)=(X-a)(X-b)(X-c)$ avec $a=1$ $b=2$ $c=3$

    Il est immédiat que $a-b$ et $b-c$ peuvent être exprimés comme des fonctions rationnelles de $a-b$.

    Mais peut-être ai-je mal compris la question initiale.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • ... et voici comment Koehler répondait à cette question de Réalis, en 1878: http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1878_2_17_/NAM_1878_2_17__261_1/NAM_1878_2_17__261_1.pdf

    Bon dimanche. Norbert.
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