intégrale

jijii

Salut, j'ai trois fonctions $f$ et $g$ et $h(x)=x g(x)$ telles que $(f-g) \in L^1(]0,1[)$ et $h \in L^1(]0,1[).$
Est-ce que l'on peut dire que $f \in L^1_{\loc}(]0,1[)$ ?
Merci par avance !

sadfub0

Bonjour,

Non car il suffit de prendre $f=g$ telle que $f\notin L^1_{\loc}(]0,1[)$ et $h:h(x)=x g(x)$ $ \in L^1(]0,1[)$

par exemple$ f(x)=1/x$

jijii

et est-ce qu'on peut conclure que $f \in L^1_{loc}(]0,1[)?$

egoroffski

Ben, si $K \subset ]0,1[$ est compact, tu as $\delta = \inf_K x > 0$, ça devrait t'aider.

sadfub0

Bonjour,
@egoroffski $\delta = \inf_K x > 0$ NON

sadfub0

d'ailleurs $ L^1_{loc}(]0,1[)= L^1_{loc}([0,1])$ et $ L^1(]0,1[)= L^1([0,1])$

@jijii : le contre exemple que j'ai donné reste valable pour ta deuxième question

egoroffski

Sadfub : j'ai bien écrit $]0,1[$, l'intervalle ouvert.

sadfub0

egoroffski : comment sont-ils les compacts de $]0,1[$

remarque

sadfub a écrit:

d'ailleurs $ L^1_{loc}(]0,1[)= L^1_{loc}([0,1])$

Non : $ L^1_{\mathrm{loc}}([0,1])=L^1(0,1)$ mais $ L^1_{\mathrm{loc}}(]0,1[)$ est un espace beaucoup plus gros. Par exemple, il contient $x\mapsto \frac1x$.

jijii

Salut alors c'est vrai si on dit que: pour un $\Omega$ compact: $L^1(\Omega)=L^1_{loc}(\Omega)$ et pour $\Omega$ ouvert: $L^1_{loc}(\Omega)$ est plus gros que $L^1(\Omega)$?
2- si $f-g \in L^1(]0,1[)$ ca n'implique pas toujours que $f \in L^1_{loc}$ ou que $g \in L^1_{loc}.$?

jijii

salut, en fait si $h(x) = x g(x) \in L^1(]0,1[)$ soit $[a,b]$ un compact de $]0,1[$ dans ce cas $g(x) = \dfrac{h(x)}{x} $ on peut diviser sur $x$ sans problème. donc $g \in L^1_{loc}(]0,1[).$
et puisque $f-g \in L^1(]0,1[$ et $g \in L^1_{\loc},$ $f$ est forcément dans $L^1_{loc}(]0,1[).$ Avec ca je ne comprend pas les premières réponses qui ont été données.

jijii

Je me permet un p'tit up!

remarque

Ben oui, $f$ est dans $L^1_{\mathrm{loc}}$. Quelle est ta question ?

jijii

j'avais compris de la réponse de sadfub que c'est faux...
merci pour ta réponse.

remarque

Ah ok. Je n'ai pas compris la réponse de sadfub non plus, en fait.