convergence dans L^2 et dans L^q

Bonjour.

J'ai le problème suivant : une suite de v.a. $(X_n)$ converge dans $\mathrm{L}^2$ vers une v.a. $X.$ Je sais aussi que les $X_n$ et $X$ sont dans $\mathrm{L}^q$ (pour un certain réel $q>2$).
Peut-on dans ces conditions affirmer que
$$\mathrm{E}\left|X\right|^q =\lim_n \mathrm{E}\left|X_n\right|^q~?$$
Je n'arrive pas à le démontrer et je ne trouve pas de contre-exemple...

Merci

Réponses

  • Si tu peux trouver une suite réelle $\alpha_n$ telle que $\dfrac{\alpha_n^2}{n}\to 0$ et $\dfrac{\alpha_n^q}{n}\not\to 0$, tu seras tout près d'un contre-exemple.
  • Ok, merci. On prend par exemple la suite de fonctions $f_n(x)=n^{1/4}\mathbf{1}_{\left[0,\frac{1}{n}\right]}(x).$
    Elle converge dans $\mathrm{L}^2$ vers $0,$ mais pas dans $\mathrm{L}^4.$
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