Indicatrice d'Euler non-surjective

poltaj

Bonsoir.
Connaissez-vous un moyen simple pour montrer que la fonction indicatrice d'Euler $\phi:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{N}^*$ n'est pas surjective?
Par "simple" j'entends la plus élémentaire possible, niveau maths spé. Donc on évitera d'invoquer le postulat de Bertrand où le théorème des nombres premiers (bien qu'il existe des démonstrations assez longues des ces théorèmes qui me sont accessibles).

JLT

Tu trouves $n_0$ explicite tel que $\varphi(n)>3$ quand $n\ge n_0$ et tu vérifies à la main que $\varphi(n)\ne 3$ pour tout $n<n_0$.

JLT

Variante : $\varphi(n)$ est pair sauf pour $n=1$ et $n=2$.

poltaj

Merci bien.

Hicham_

mézalor, est-ce que tous les pairs sont dans l'image de de $\phi$ ?

Cdlt, hicham

JLT

Non, 14 n'est pas dans l'image de $\varphi$.

Volny DE PASCALE

Wow...

Comment montres-tu ça ?

Curieusement
Volny

aléa

On peut montrer $7\mid \phi(n) \Longrightarrow 6\mid \phi(n)$.

JLT

Supposons $\varphi(n)=14$. Si $n=\prod_i p_i^{\alpha_i}$, alors $14=\prod_i p_i^{\alpha_i- 1}(p_i-1)$, donc $p_i-1$ divise $14$. Par conséquent, $p_i-1\in \{1,2,7,14\}$. Il s'ensuit que $p_i\in \{2,3\}$ puisque $p_i$ est premier. On a donc $n=2^a3^b$ pour certains $a,b\in\N$, et $\varphi(n)=2^{a-1}\times 3^{b-1}\times 2$ ne peut pas être égal à 14 puisqu'il n'est pas divisible par 7.

JLT

@ aléa : non. $\varphi(29)=28$.

bs

Bonsoir,

C'était il y a six ans : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,331821,332032#msg-332032

Amicalement.

aléa

Damned. Quel âne ! (désolé, ev)

Volny DE PASCALE

Merci

Cordialement
Volny

duroc

Plus prosaïquement (i.e. plus bourrinement), on peut voir que l'égalité $\varphi(n)=14$ est fausse pour $n \leqslant 54$ et comme $\varphi(n) > n^{3/2}$ dès que $n \geqslant 30$, on en déduit qu'elle est fausse pour tout $n$.