Fonctions "zêta" issues des zéros de Bessel

breukin

Que sait-on des sommes suivantes, sortes de fonction zêta à la mode Bessel :
$ \displaystyle \zeta_J(s,\nu) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{j_{\nu,n}^s} $
$ \displaystyle \zeta_Y(s,\nu) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{y_{\nu,n}^s} $
où $ \displaystyle j_{\nu,n} $ et $ \displaystyle y_{\nu,n} $ sont respectivement les zéros > 0 des fonctions $ \displaystyle J_\nu(\pi x) $ et $ \displaystyle Y_\nu(\pi x) $.
(Le facteur multiplicatif $ \displaystyle \pi $ est choisi pour que les zéros de $ \displaystyle J_{1/2}(\pi x) $ soient les entiers et donc pour que $ \displaystyle \zeta_J(s,1/2) = \zeta(s) $.)

enonce

Une question : d'où sortent-elles ?

breukin

De mon imagination.
On peut inventer aussi celles-ci, issues des fonctions de Dirichlet $ \displaystyle L(\chi,s) $
$ \displaystyle \zeta_\chi(s) = \sum_{\rho} \frac{1}{\rho^s} $ où l'on somme sur tous les zéros de $ L $ (on prend le plan complexe coupé par l'axe réel positif pour donner un sens non ambigu à la fonction "puissance $ s $" sur les zéros réels négatifs).

enonce

Il y a déjà pas mal de fonctions $L$ avec lequelles on a pas mal de choses à faire.

Si tu y tiens, tu peux déjà voir si les tiennes (je parle de celles du 1er message) :

1. peuvent être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur le plan complexe, avec quelles singularités.

2. suivent une équation fonctionnelle.

C'est déjà du boulot !