intégration en term S

ned

Bonjour,dans le nouveau programme de term S. On définit l'intégrale d'une fonction positive dans un premier temps. Et il est indiqué de donner le théorème fondamental de l'analyse, dans le cas où la fonction $f$ est positive et continue. Ensuite plus loin, on doit définir l'intégrale d'une fonction de signe quelconque. Est-ce que par la suite, il faut dire que le théorème vu précédemment ne s'applique pas qu'aux fonctions positives. Ce n'est pas indiqué, ni suggéré. Ce que je trouve triste en se limitant aux fonctions positives, c'est que ça restreint les exercices.
Comment avez vous compris ce passage du programme ?
Merci d'avance.
Cordialement.

Benoit RIVET

Il me semble que l'intégrale d'une fonction (continue) positive s'interprète sans ambiguïté comme l'aire sous la courbe associée. Dans le cas d'une fonction négative, ou tantôt négative, tantôt positive, il faut introduire une notion d'aire orientée qui peut être problématique : autant rester simple; c'est sans doute le point de vue du programme en commençant par l'intégrale des fonctions positives.

En général, une fonction quelconque peut se décomposer comme différence de deux fonctions positives, ce qui permet d'étendre l'intégrale aux fonctions (continues) quelconques par linéarité, et d'étendre les théorèmes que l'on peut faire semblant de démontrer pour les fonctions positives au cas général.

DSCH0

Ce programme est certes très mal fichu, mais lisez la colonne de commentaires, et pas seulement celle des contenus. L’extension au cas des fonctions de signe quelconque est bien mentionnée, en commentaire.

Essai

{\ itDSCH : Ce programme est certes très mal fichu}

C'est le moins que l'on puisse dire !

Par ailleurs, cette partie du programme me semble inchangée par rapport aux dernières années précédentes.

ned

DSCH : Et bien non jutement dans les commentaires, on étend la formule de l'intégrale en fonction d'une primitive à une fonction de signe quelconque. Par contre, en commentaire, on n'étend pas le théorème fondamental de l'analyse à une fonction de signe quelconque.
Alors que dans le précédent programme, le théorème était donné pour une fonction de signe de quelconque, (même si l'on démontrait dans le cas positif croissant). Donc le programme n'est pas inchangé.

DSCH0

Je pense mieux saisir votre question. On lit dans les commentaires, « La formule $\int_a^b f (x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ ,
établie pour une fonction continue et positive, est étendue au cas d’une fonction continue de signe quelconque ». Cela fait le lien entre intégration et dérivation, ce qui revient en gros au théorème fondamental de l’analyse (pour $a$ fixé, la fonction $b\mapsto \int_a^b f (x)\,\mathrm{d}x$ coïncide avec la primitive $F$, à une constante additive près, c'est donc une primitive de $f$, ce qui me semble être l'énoncé usuel du théorème fondamental), et est suffisant pour faire des exercices de calcul intégral. En revanche, cette fameuse formule me semble admise (même dans le cas des fonctions positives), et on prétend en déduire (au moins dans le cas d’une fonction admettant un minimum, ce qui est assez artificiel) que toute fonction continue admet des primitives : on fait les choses à l’envers ! On devrait en effet prouver le théorème fondamental (au moins dans un cas particulier, comme dans l’ancien programme) au préalable, et si vous souhaitiez souligner que ce nouveau programme est plus pauvre que le précédent sur ce point, je ne peux qu’être d’accord ! En résumé, on admet tout et on a juste un outil pour calculer…

Il est certes impossible de construire une vraie théorie de l’intégration à ce niveau (ce qui d’ailleurs ne s’est jamais fait à ma connaissance, même à une époque où les programmes étaient plus consistants et cohérents), mais diantre, que ce programme-ci est mal fichu !

ned

C'est ça . Je prépare mon cours d'intégrale, et j'étais un peu dubitatif. Ca m'ennuie de donner des théorèmes avec des hypothèses inutiles, et après d'étendre le truc... Ca me laisse dubitatif.