Fonction holomorphe

Mikel0

Salut, une indication pour :
Soit $U$ un ouvert connexe de $\mathbb{C}$, et $f$ une fonction holomorphe non constante sur $U$, tel que
$f(U)\subset U$ et $f\circ f=f$, il est demandé de montrer que $f$ est l'identité sur $U$, c-à-d : $\forall z\in U,\ f(z)=z$.
Merci.

Foys

Utiliser le théorème des zéros isolés.

moha222

une fonction holomorphe non constante est une application ouverte, puis $V=f(U)$ est un ouvert, ainsi
ainsi $\forall z\in V$, $f(z)=z$, le théorème des zeros isolés permet de conclur.

jydu56

$ f(z)$ est holomorphe donc dérivable;
$f°f =f $ : dérivons les deux membres;
$(f \' (z))^2 =f\'(z)$
Si $f\'(z) \not = 0 $
$f\'(z) = 1$
donc $ f(z) = z + K $ et $ f°f = f $ conduit à $ K =0$
donc $ f(z) = z $ et on vérifie bien que $f\'(z) \not = 0 $

h

jydu56 : comment as-tu dérivé la composée ? Et une fois que tu as obtenu que pour tout $z$, $f'(z)=0$ ou $f'(z)=1$, comment as-tu poursuivi ?

seb78

bonjour

en dérivant on obtient plutôt

$f\'(f(z))f\'(z)=f\'(z)$

soit lorsque $f\'(z) \not=0$, on $f\'(f(z))=1$

soit pour tout $z \in f(U)$ : $f(z)= z + k$ donc comme $f(f(z))=f(z)$, $k=0$.

La fonction $g(z)=f(z)-z$ est alors holomorphe et nulle sur l'ouvert connexe $f(U)$ de $U$, elle est donc nulle sur $U$ tout entier d'après le théorème des zéros isolés.

Seb

h

@seb28 : on y verrait plus clair avec des quantificateurs. Que fais-tu si la dérivée s'annule par endroits ?

NB : la réponse à la question initiale a été donnée dès le début.

jydu56

@seb : oui tu as raison pour la dérivée de fonction composée ! j'ai écrit par paresse $ (f\'(z))^2 = f\'(z) $ au lieu de $ (f\'(f(z)) f\'(z) = f\'(z) $ par paresse mais mon écriture nétait pas correcte !

seb78

Effectivement la démonstration est toujours incomplète (merci H).

Soit $z$ tel que $f\'(z)=0$ alors $f(z)= k$. Les points où la fonction $f$ est constante sont forcément isolés car sinon d'après le principe des zéros isolés la fonction $f$ serait constante sur tout l'ouvert $U$ ce qui est contraire à l'hypothèse de l'énoncé.

Le complémentaire de ces points isolés dans $U$ est un ouvert connexe de $U$. On peut à nouveau appliquer le principe des zéros isolés à la fonction $f(z)-z$ qui se trouve être nulle sur cet ouvert connexe d'après ci-dessus. Cela permet de conclure que pour tout $z in U$, $f(z)=z$.

Séb

Bbidule

Bonjour à tous,

encore une fois, seb, il me semble que ta réponse est "imprécise".
Que signifie le début de phrase "Les points où $f$ est constante"....
Si la dérivée s'annule sur un ouvert connexe contenue dans $U$, alors oui, il existe un complexe $k$ tel que $f$ soit la fonction constante égale à $k$. Dans le cas général, aïe.
On pourrait imaginer que la fonction $f$ s'annule sur deux ouverts connexes disjoints contenus dans $U$, et $f$ prendrait alors deux valeurs constantes différentes...
En conclusion, il faut que tu quantifies proprement le $k$ dans ton assertion,

Amicalement,

Bbidule

On note $C = \{z\in U~|~f'(z) = 0\}$
$C$ est sans point d'accumulation car sinon, on appliquant le théorème des zéros isolés à la fonction holomorphe $f '$, on aurait que $f '$ est nulle sur l'ouvert connexe $U$, et donc $f$ constante sur $U$, ce qui est proscrit.

De plus, pour tout $z \in U \setminus C$, nous pouvons écrire que $f '(f(z))= 1$.
Ainsi, $f '(Z) = 1$ sur $f(U \setminus C)$.
Or, on montre aisément que $U \setminus C$ est ouvert connexe: comme $f$ holomorphe est une application ouverte, on en déduit que $f(U \setminus C)$ est un ouvert connexe.
On en déduit qu'il existe $k\in\C$ tel que pour tout $z\in f(U \setminus C) $ $f(z) = z +k$.
L'identité $f\circ f = f$ nous donne que $k=0$.
On en déduit que $f(z) = z$ sur l'ouvert non vide $f(U \setminus C)$ contenu dans $U$.
D'où, d'après le principe du prolongement analytique, $f(z) = z$ sur $U$.

En espérant ne pas avoir écrit d'énormités,

Cordialement,

seb78

exact. je re-essaie!


Pour tout, $z$ appartenant à $U$ tel que $f\'(z)=0$, il existe un nombre complexe $k$ tel que $f(z)= k$ ($k$ dépend de $z$). Les points où la fonction $f$ est constante (i.e l'ensemble des $z$ tel $f\'(z)=0$) forment un ensemble de points isolés car sinon il existerait un voisinage connexe dans $U$ d'un élément $z$ tel que $f'(z)=0$. Comme la fonction $f'$ est holomorphe, elle vérifie aussi le principe des zéros isolés serait donc nulle sur $U$ ce qui est contraire à l'hypothèse. La suite est inchangée.

OK ?

h

seb78 écrivait:

---

> Pour tout, $z$ appartenant à $U$ tel que $f\'(z)=0$, il existe un nombre complexe $k$ tel que $f(z)= k$
> ($k$ dépend de $z$).

Oui, d'ailleurs, $k$ c'est tout simplement... $f(z)$. Tu ne dis rien là

> Les points où la fonction $f$ est constante (i.e l'ensemble des $z$ tel $f\'(z)=0$)

Je comprend ta définition entre parenthèse ; je veux bien la prendre comme définition de "les points où $f$ est constante" mais c'est tout de même une dénomination bien bizarre. Si $f'$ s'annule en $2$ et en $3$ et que l'on a $f(2)=40$ et $f(3)=33$ tu appelles $\{2,3\}$ l'ensemble des points où $f$ est constante ?

Bon. On peut peut-être faire une preuve comme ça mais j'avoue ne pas bien comprendre la motivation.

seb78

oui c'est vrai,il vaudrait mieux parler que l'ensemble des points où la dérivée est nulle (j'ai trop l'habitude de travailler avec des fonctions de variables réelles ).

Sinon, tu as une autre preuve à proposer?

h

Celle des deux premières réponses !

h

> (j'ai trop l'habitude de travailler avec des fonctions de variables réelles smiling smiley).

Ca ne change pas grand chose pour cette histoire. Si une fonction s'annule en $3$ points (réels ou complexes) c'est idiot de dire que c'est l'ensemble des points où elle est constante.

seb78

@H: je passe sur le mot 'idiot' qui a mon avis n'a rien à faire sur un forum mais je suis d'accord sur le fond.

si tu fais allusion à la solution de moha222, peux-tu m'expliquer le passage "ainsi $\forall z\in V$, $f(z)=z$," ?

Bbidule

Soit $ z \in V = f(U)$.
Alors, $\exists y\in U$ tel que $z=f(y)$.
Or, $f(f(y)) = f(y)$.
D'où, $f(z) = z$, et ceci est vrai pour tout $z$ dans $V$.

Bien cordialement,

h

"idiot" qualifiait ce que tu disais, pas toi. Je ne vois pas pourquoi ce mot n'aurait rien à faire sur ce forum. Quel mot proposes-tu à la place ?

seb78

Ok donc si je trouve tes propos agressifs, je ne parle pas de toi mais uniquement de la façon dont tu t'exprimes.

Par ailleurs, je n'ai toujours pas compris en quoi le fait que $f$ soit une application ouverte implique que pour tout $z \in f(U)$ on ait $f(z)=z$.

Bbidule

Bonsoir seb,

le fait que pour tout $z\in U$, $f(z) = z$ n'est pas la conséquence du fait que $f$ soit ouverte !
C'est tout simplement une manière de reformuler l'identité vérifiée par $f$ sur $U$: $f\circ f = f$.

Amicalement,

seb78

merci Bbidule, je suis tout à fait en phase avec cela ainsi qu'avec ta démonstration (que je n'avais pas vue initalement) et qui est rédigée de manière plus précise que la mienne.

Bonne soirée