Divisibilité par 7

Loga

Bonjour à tous! Je bloque sérieusement à un problème - si quelqu'un peut m'expliquer, par quoi commencer, svp, voici l'énoncé:

Démontrer de deux façons que, pour tout entier naturel n, l'entier 2*9ⁿ - 9*2ⁿ, est divisible par 7.
J'ai essayé la factorisation, en vain...
Merci

jeroM

bonjour,
voir ce que donne l'écriture modulo 7 pour la 1ère méthode

peut être une récurrence pour la 2ème méthode

Loga

1/ Soit 2*9ⁿ - 9*2ⁿ ≡ 0 (9)

2/ Supposons 2*9ⁿ - 9*2ⁿ = 7a.
Montrons la propriété vraie au rang (n+1), soit
2*9ⁿ*9 - 9*2ⁿ*9 = 7a

gilles benson

une méthode raisonnable consisterait à remarquer que 2 et 9 sont congrus modulo 7 puis à regarder ce qui se passe pour les puissances.

Loga

Pour 2*9ⁿ => 2 ≡ 2 (7) et 9ⁿ ≡ 2ⁿ (7)
Pour 9*2ⁿ => 9 ≡ 2 (7) et 2ⁿ ≡ 2ⁿ (7)

Soit
2*9ⁿ - 9*2ⁿ ≡ 2*2ⁿ - 2*2ⁿ (7)
2*9ⁿ - 9*2ⁿ ≡ 0 (7)

Bonne démarche?

Loga

Pour la récurrence,

Initialisation si n=2
162-36=126= 7x18

Hérédité pour (n+1)
2x9x9ⁿ - 9x2ⁿx2 =7a ...??

Fin de partie

l'utilisation de => n'est pas correcte ci-dessus.

Deuxième méthode:

Tu introduis la suite $U_n=2\times 9^n-9\times 2^n$ et tu n'oublies pas de calculer $U_2$

En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.

Fin de partie

Hérédité pour (n+1) 2x9x9n - 9x2nx2 =7a ...?? a écrit:

Loga:
Et si tu factorisais 18=2x9

Avant de parler hérédité il faut écrire la propriété qu'on veut démontrer par récurrence.

Et pour démontrer que la propriété sera vraie au rang n+1, il faut utiliser obligatoirement le fait qu'elle est vraie au rang n.

Loga

ça me donne du (2x9ⁿ)18 - (9x2ⁿ)18

Je suis d'accord. Pour l'initialisation, et le début de la récurrence, j'ai pas développé car c'est quelque chose d'acquis depuis Septembre.

Fin de partie

Citation:
ça me donne du $(2\times9^n)\times 18 - (9\times 2^n)\times 18$

Et si tu factorises 18, qu'obtiens-tu?

Loga

[(2x9ⁿ)-(9x2ⁿ)] x 18 ?

EDIT: Soit 7a x 18

Fin de partie

Oui, et le truc entre [ ] cela ne te dit rien?

Loga

"EDIT: Soit 7a x 18"
Pardon... Donc si je reviens à ma propriété c'est égal à 7a avec a = 18 ?

Fin de partie

Tu y es presque mais c'est mal rédigé.

Il faut considérer la propriété P(n): " $2\times 9^n-9\times 2^n$ est divisible par 7"

On vérifie qu'elle est vraie pour n=2

Puis, on suppose qu'elle est vraie pour n et on veut montrer que cela implique qu'elle est vraie pour n+1.

A la question:

Pardon... Donc si je reviens à ma propriété c'est égal à 7a avec a = 18 ?

non.

C'est vrai que pour n=3

Fin de partie

Ce que vaut le "a" on s'en moque (cette valeur change quand n varie)

Loga

Pour n=2, P(2) = 126 soit 7x18. Donc propriété vraie au rang 2. (comme au rang n=1 et n=0)

Pour n+1, P(n+1) = 2x9ⁿ⁺¹ - 9x2ⁿ⁺¹ = 7 x a
= [2x9ⁿ - 9x2ⁿ] x 18
= 7 x a x 18

Fin de partie

Pour $n \ge 2$

$2\times 9^{n+1}-9\times 2^{n+1}=18(2\times 9^n-9\times 2^n)$

Donc si $ 2\times 9^n-9\times 2^n$ est divisible par 7 alors:

$2\times 9^{n+1}-9\times 2^{n+1}$ est aussi divisible par 7

TOTALEMENT FAUX B-)-

Ce qui est vrai:

$2\times 9^{n+1}-9\times 2^{n+1}=18(9^{n+1}-2^{n+1})$

Loga

Ok, c'est le 18 qui me dérange en fait...

Fin de partie

Loga:
Oublie ce "a" .
ce nombre dépend de n et on n'en a pas besoin.

Fin de partie

Ok, c'est le 18 qui me dérange en fait... a écrit:

18 ne joue pas de rôle particulier.

un nombre divisible par 7 multiplié par n'importe quoi (un entier) donne encore un nombre qui est divisible par 7

Fin de partie

Loga:

Tu ne comprends pas:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783955#msg-783955

?

Cidrolin

Bonjour,

On peut poser $u_n=\dfrac {2 \times 9^n - 9 \times 2^n}{126}$ pour $n \in \N$

On vérifie que pour tout $n \geq 2$ : $u_{n}=11 u_{n-1}-18 u_{n-2}$.

Les $u_{n}$ sont donc tous entiers, $2 \times 9^n - 9 \times 2^n$ est toujours

un multiple de $126$, c'est donc toujours en particulier un multiple de $7$

Loga

un nombre divisible par 7 multiplié par n'importe quoi (un entier) donne encore un nombre qui est divisible par 7 a écrit:

D'accord, je le retiendrai pour la prochaine fois, merci beaucoup
Et pour la 1ère méthode, la démarche est-elle bonne? (même si je dois revoir la rédaction)

Fin de partie

Voir plus bas

Fin de partie

9 et 2 sont congrus modulo 7

et il en va de même pour toutes leur puissances entières ($9^n$ et $2^n$)

Mieux rédigé,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?5,7322

me semble correct.

Fin de partie

On ne doit pas prendre ses rêves pour la réalité en mathématiques B-)-

Loga

Cidrolin écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783964#msg-783964

---

Je vois à peu près l'idée. Merci !

Fin de partie écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783970#msg-783970

---

Oui. On peut donc dire 9 ≡ 2 (7)
9ⁿ ≡ 2ⁿ (7)
Donc 9x2ⁿ ≡ 2x9ⁿ (7)
9x2ⁿ - 2x9ⁿ ≡ 0 (7)

[Inutile de répéter des messages précédents (surtout si on ne coche pas la case LaTeX !). Un lien suffit. AD]

LaRecherche2

gilles benson écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783891#msg-783891
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]

---

Je pense qu'il est inutile de compliquer. Gilles Benson a déjà tout dit. 2 et 9 étant congrus modulo 7, la meilleure façon de vérifier pour tout n, est de remplacer 9 par 2, ou vice-versa. On obtient
2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹≡0 (7), ou encore
9ⁿ⁺¹-9ⁿ⁺¹≡0 (7).

Christian Vassard

On peut aussi remarquer que :
$2 \times 9^n - 9 \times 2^n = 2(9^n-2^n)-7 \times 2^n$
Bien cordialement,
Christian

Fin de partie

Je pense qu'il est inutile de compliquer. a écrit:

Qui complique?

Dans la question initiale, il est demandé deux méthodes de démonstration.

Christian:

Et tu fais comment pour démontrer par récurrence que $9^n-2^n$ est divisible par 7?
(sans retomber dans la démonstration par congruence)

Je crois que j'ai la réponse à ma question:
$9^n-2^n$ est divisible par 9-2=7.

GG

@Fdp, pour la récurrence, il faut supposer simultanément 2.9ⁿ - 9.2ⁿ et 9ⁿ - 2ⁿ multiples de 7 :

2.9ⁿ⁺¹ - 9.2ⁿ⁺¹ = 18(9ⁿ - 2ⁿ) multiple de 7

(9ⁿ - 2ⁿ)(9+2) = (9ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹) + (2.9ⁿ - 9.2ⁿ)

et donc 9ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ est multiple de 7.

JLT

Soit $a=2$ et $b=9$. On a

$$ab^n-ba^n=ab(b^{n-1}-a^{n-1})=ab(b-a)(b^{n-2}+ab^{n-3}+\cdots+a^{n-2}).$$

GG

oui JLT, mais l'idée, c'était le plaisir de faire disparaître ces petits points par une récurrence

Heddi

Concernant la factorisation et sans utiliser la récurrence :
$2 \times 9^{n+1} - 9 \times 2^{n+1} = (2\times 9)\times(9^n - 2^n)$

Et si on factorise $9^n - 2^n$, on obtient...

Ce qui montre le résultat pour tout $n\geq 1$, il ne reste plus qu'à le vérifier pour $n=0$

JLT

@Heddi : c'est bien ce que j'ai écrit deux messages plus haut.

gram

Bonsoir,
concernant la récurrence, il me semble qu'on peut écrire:

$2.9^{n+1}-9.2^{n+1}=9(2.9^{n}-9.2^{n})+9.9.2^n-9.2^{n+1}$
$=9(2.9^{n}-9.2^{n})+9.2^n.(9-2)$

J'ai peut-être lu un peu vite, mais je ne crois pas avoir vu cette variante
Cordialement

Heddi

@JLT
Effectivement, j'ai écrit mon message trop vite et je n'avais pas vu la "seconde page" - désolé !

Bonne soirée

catapoulpe

personnellement, je trouve ca pour l'hérédité :

2 x 9ⁿ⁺¹ - 9 x 2ⁿ⁺¹ = 2 x 9ⁿ x 9 - 9 x 2ⁿ x 2 = 18 x 9ⁿ - 18 x 2 ⁿ = 18 ( 9ⁿ - 2ⁿ )

Fin de partie

Catapoulpe:
Mais écrit de la sorte cela n'aide pas, si on veut faire un raisonnement par récurrence seulement.

Il faudrait que tu lises le fil de message complètement.

Christian Vassard

Fin de partie a écrit:

Et tu fais comment pour démontrer par récurrence que $ 9^n-2^n$ est divisible par 7?

Excuse moi, j'ai été absent donc je n'ai pas répondu. Mais bien évidemment, tu as trouvé la réponse. L'identité remarquable bien connue $a^n-b^n$ permet de conclure... sans récurrence!
Bien amicalement,
Christian

Fin de partie

Christian:

Il s'agissait de donner une preuve totalement par récurrence de ce résultat sans utiliser la réduction modulo 7.

Cela a été esquissé dans ses grandes lignes par plusieurs intervenants plus haut.
(voir par exemple: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,785379#msg-785379 )

Une autre preuve plus directe, sans récurrence, a été donnée plus haut: il suffit de réduire modulo 7.

Christian Vassard

Oui, il existe des preuves variées de ce genre de résultat. Nous en avons là quelques exemples intéressants.
Bien amicalement,
Christian

breukin

Il s'agit de faire apparaître l'expression de rang $ n $ en manipulant l'expression de rang $ n+1 $.

Par exemple, en écrivant :

$ 2.9^{n+1} - 9.2^{n+1} = 2.9.9^n - 9.2.2^n = 9.(2.9^n - 9.2^n + 9.2^n) - 9.2.2^n = 9.(2.9^n - 9.2^n) + 81.2^n - 18.2^n = 9.(2.9^n - 9.2^n) + 63.2^n $
Donc si $ 2.9^n - 9.2^n $ est multiple de $ 7 $, comme $ 63 $ l'est aussi, $ 2.9^{n+1} - 9.2^{n+1} $ l'est aussi.

C'est pourtant simple, il suffit d'avoir l'esprit clair et non embrouillé (autrement dit, de savoir d'où on vient et où on veut aller).

breukin

Oups, je n'avait pas vu qu'il y avait 3 pages à la discussion !
J'ai donné ma réponse sur la foi de ce que j'y voyais en fin de première page.

AXIOME

Bonjour,
Si raisonnement par récurrence,tu remplaces 9 par 2+7 au rang n+1.