Espaces vectoriels topologiques fermés

Salut à tous, je cherche à montrer que dans un espace vectoriel topologique séparé de dimension quelconque (on prendra des EV sur R ou C), tout sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé.

J'ai montré au préalable que tout sous-espace vectoriel de dimension finie est homéomorphe à un R^n (n est la dimension du sous-espace en question évidemment).

Je pense qu'on a la propriété suivante : Si E est un espace topologique (quelconque), F une partie de E, x un élément de E et X une partie de E qui contient x, alors (x est adhérent à F dans E) si et seulement si (x est adhérent à F dans (F union X)).

Démo :

Il suffit de voir que les voisinages de x dans (F union X) sont les traces des voisinages de x dans E.

Donc si tout voisinage de x dans E rencontre F, tout voisinage de x dans (F union X) rencontre F, et donc x adhérent à F dans E implique x adhérent à F dans (F union X). La réciproque est évidente par inclusion.

Ca vous semble OK ?


Si le lemme est bon, je prends E un ev topologique, F un sous-ev de dimension finie, et x un point adhérent à F dans E, alors x est adhérent à F dans F+R*x et alors x appartient à F (car je connais la topologie de F+R*y et les sous-ev de cet ensemble sont fermés), donc F est fermé.


J'ai posé la question sur un autre forum, on m'a dit d'utiliser le fait que F est complet donc fermé, mais j'ai l'impression que ça nécessite que E soit normé (enfin au moins normable) ce qui n'est pas forcément le cas.

Il y a en effet une démo qui montre qu'un sous-ev de dim finie d'un EVN de dimension quelconque est fermé qui utilise la complétude, mais je n'arrive pas à étendre la démo au cas où l'espace ambiant est simplement topologique séparé et pas forcément normable.

Merci pour votre aide.

Réponses

  • non ne va pas te noyer dans des usines a gaz autour de la completude car le corps est ici IR selon ta demande.

    Prouve juste qu une droite est fermee et qu une somme directe d un ferme avec un droite est ferme c est suffisant

    sorry je poste de mon tel en province. Si tu es patient et ne prouve pas seul ton truc tu peux chercher un fil ou j ai mis un pdf de topologie ou c est fait tape "pdf de topologie christophe chalons" sur google y a des chances que ca t y enverra
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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