Suite>0 de limite nulle est décroissante

Souki

Bonsoir tout le monde,
Je voudrais savoir si une suite strictement positive de limite nulle est nécessairement décroissante à partir d'un certain rang.
Pour cela, je me donne une telle suite. Cette suite est donc de Cauchy , ce qui implique que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un rang $n_0$ tel que l'on ait $u_q<u_p+ \varepsilon $ pour tout $q >p \ge n_0$.
J'ai envie de faire tendre cet $\epsilon$ vers 0, mais l'opérateur $\exists$ m'en empêche. D'ailleurs, je ne sais pas comment rédiger ce passage.
Ma question est donc : est il légitime d'écrire
$\forall \varepsilon >0$, il existe un rang $n_0$ tel que l'on ait $u_q<u_p + \varepsilon $ pour tout $q >p \ge n_0$, donc en faisant tendre $\varepsilon$ vers 0, $u_q<u_p $ pour tout $q >p \ge n_0$, donc la suite est décroissante à partir d'un certain rang.
Cordialement.

egoroffski

Salut,

C'est bien sûr impossible de faire tendre $\varepsilon$ vers $0$ puisqu'en général le $n_0$ dépend de $\varepsilon$, et il part à l'infini lorsque $\varepsilon \to 0$ (pour n'importe quelle suite de Cauchy non stationnaire, tu peux essayer de le démontrer).

Maintenant, il faut aussi que tu saches que ton énoncé de départ est faux. Je t'invite à te mettre rapidement à chercher un contre-exemple par toi-même, avant qu'on vienne t'en servir un tout cru sur le forum...

Souki

Je pense à $\dfrac{(-1)^n}{n}$ mais ce n'est pas une suite positive.

egoroffski

D'accord. Et ?

Souki

$u_n=\dfrac{1}{n}$ pour les indices pairs et $\dfrac{2}{n}$ pour les indices impairs .

Philippe Malot

C'est pas mal comme exemple. Encore faut-il prouver qu'il convient !

Braun

M'enfin, quid de $\dfrac{1}{n+2}$ pour les entiers pairs et $\dfrac{1}{n} $ pour les autres~?

Heddi

Encore plus simple : $u_{2n} = \dfrac{1}{2n}$ et $u_{2n+1} = 0$

Zo!

Bien lire la consigne !

breukin

Pour ce genre de problème, le mieux, c'est de dessiner une fonction strictement positive, en essayant qu'elle ne soit pas décroissante, tout en essayant de la faire tendre vers 0.
Et on se rend compte que ce n'est pas si difficile.

Heddi

Oups j'ai zappé le "strictement positif", excuses...