A propos de la suite des nombres de Bernoulli

Souki

Bonsoir tout le monde,
je voudrai montrer qu'il existe une unique suite réelle $(\beta_n)_{n \in \N}$ telle que $\beta_0=0$ et $\forall p \ge 2$, $\sum\limits_{k=1}^p C_p^k \beta_{p-k} =0$.
J'ai un doute dans mon raisonnement qui est le suivant :
$\beta_0$ existe et est unique. J'utilise la condition sur la somme pour $p=2$ et je trouve $\beta_1=-\dfrac{1}{2}$, donc $\beta_1$ existe et est unique.
Soit $p \in \N$. Supposons qu'on a construit $\beta_0 , \beta_1 .. \beta_p$. Alors en utilisant la condition sur la somme pour $p+2$, on obtient une expression unique de $\beta_{p+1}$ en fonction des $(\beta_i)_{0 \le i \le p}$. Donc $\beta_{p+1}$ existe de manière unique.
D'après le principe de récurrence, les $\beta_i$ existent tous et sont uniques, donc la suite existe et est unique.

En fait, je ne sais pas si j'ai le droit d'utiliser la condition sur la somme dans la récurrence : je la considère comme une donnée, alors qu'il faut que je montre l'existence et l'unicité d'une suite la vérifiant.
Qu'en pensez vous ?
Cordialement.

jean lismonde

bonsoir

je ne comprends pas bien ta question:
la suite des Béta(n) que tu évoques est-elle la suite des nombres de Bernoulli dont tu parles en titre?
ou bien une suite associée à ces nombres de Bernoulli ?

et donc tu voudrais démontrer que cette suite obéit à l'équation écrite en première ligne
cette suite associée (ou non) est-elle unique? c'est possible; il conviendrait de l'expliciter pour fixer les idées
sinon ton équation récurrente te donnera une succession de valeurs calculées empiriquement
sans lien apparent avec les nombres de Bernoulli

cordialement

jean lismonde

bonjour

tu cherches en fait une relation récurrente gouvernant la suite des nombres de Bernoulli ou une suite numérique associée à ces nombres

je te propose la suite Za(1-2n) formée par les images pour les entiers impairs négatifs de la série de Riemann alternée

Za(p) = 1 - 1/2^p + 1/3^p - 1/4^p + ...............

cette suite Za(1-2n) = 1 -2^(2n-1) + 3^(2n-1) - 4^2n-1) +.........
peut être considérée comme la suite des nombres de Bernoulli (c'est que je fais personnellement) ou une suite associée (si tu préfères)
dans ce cas il existe une relation de récurrence simple algébrique entre les n premiers termes de cette suite:

1/2 - 2.Za(1-2n) = (1dans2n-1).Za(-1) + (3dans2n-1).Za(-3) + ........+ (2n-3dans2n-1).Za(3-2n)

avec Za(-1) = 1/4; Za(-3) = -1/8; Za(-5) = 1/4; Za(-7) = -17/16; Za(-9) = 31/4; Za(-11) = - 691/8
ce sont les six premiers nombres de Bernoulli (tous rationnels de signe alterné et de dénominateurs constitués de puissances entières de 2)

la démonstration de l'équation récurrente entre les nombres de Bernoulli part du développement du binôme de Newton:

(1+p)^n = 1 + (1dansn)p + (2dansn)p² +.............+ (ndansn)p^n
que l'on somme membre à membre de façon alternée de 0 à +oo

je signale qu'il existe un calcul explicite en fonction de n du nombre de Bernoulli de rang n sous forme d'une somme double (assez lourde)
Karim Ghariani jeune matheux tunisien l'a remis au goût du jour (le forum ici-même en a parlé) grâce à une nouvelle méthode


cordialement

breukin

Par construction, $ \displaystyle \beta_p $ est défini par :

$ \displaystyle \beta_p = -\frac{1}{p+1} \sum_{k=1}^p C_{p+1}^{k+1} \beta_{p-k} = -\frac{1}{p+1} \sum_{k=0}^{p-1} C_{p+1}^k \beta_{k} $

La suite est donc unique par sa construction ! Puisqu'elle résulte d'une formule ne dépendant que des précédents termes. Je ne vois pas l'intérêt de faire une récurrence.

Ou alors, si on définit $ \displaystyle u_n = f(u_{n-1}) $, avec $ \displaystyle u_0 $ donné, il faudrait démontrer que $ \displaystyle u_n $ est unique ?