fonction différentiable

ted2

f(x,y)=xy$\frac{x²-y²}{x²+y²}$ si (x,y)$\neq$(0,0) et 0 si (x,y)=(0,0)
après avoir montré que la fonction f est différentiable en chaque point (x,y)
on me demande de montrer que f admet en chaque point (x,y) des dérivées du second ordre f''xy et f''yx et les calculer en (0,0). En déduire qu’au moins une des dérivées partielles f''xy et f''yx n'est pas continue en (0,0)

j'ai réussit à montrer que la fonction f est différentiable en chaque point (x,y) mais je bute ensuite..
Merci d'avance

aviva

prenons x = 2*y.
f(2*y,y) = 3y²/(5y²) = 3/5.
La fonction n'est donc pas continue en (0,0).

Richard André-Jeannin2

La fonction est xy*(x²-y²)/(x²+y²). Elle est continue en 0. C'est l'exemple classique d'une fonction telle que kles dérivées mixtes sont différentes en (0,0).

aviva

au temps pour moi

Richard André-Jeannin2

Il faut revenir à la définition des dp; par exemple:
f"xy(0,0)=lim(y tend vers 0)[f'x(0,y)-f'x(0,0)]/y. Un calcul de dérivation donne f'x(0,y) pour y non nul, et par ailleurs:
f'x(0,0)=lim (x tend vers 0)[f(x,0)-f(0,0)]/x=0. On doit arriver à f"xy(0,0)=-1
On voit de même que f"yx(0,0)=1

ted2

ok merci