Equation sans solution analytique

Askelad

Bonjour à tous,

Pour résoudre un problème d'optimisation, je dois annuler une dérivée et pour cela résoudre sur le domaine $x \geq 0$
l'équation :
$x e^{- a x^2} = b$ avec $a > 0$ et $b > 0$
On peut montrer facilement que la fonction $x \mapsto x e^{- a x^2}$ est croissante puis décroissante sur $\mathbb{R}_+$, et atteint son maximum en $x = \frac{1}{\sqrt{2a}}$ où elle vaut alors $\frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{1}{2}}$. Donc si $b < \frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{1}{2}}$ deux solutions, si $b = \frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{1}{2}} $ une solution et au delà pas de solution.
Il n'y a pas non plus l'air d'avoir de solutions analytiques, mais si je me trompe là dessus, faites le moi savoir, tant mieux pour moi
J'ai entendu parler de la fonction spéciale W de Lambert, mais a priori c'est pour les équations de type $x e^{x} = b$ et non $x e^{- a x^2} = b$.
Ma question est de savoir s'il existe une fonction spéciale relative à mon équation qui aurait déjà été étudiée ? Si j'avais son nom, je pourrais au moins chercher de la biblio et voir ce qui existe sur le sujet, mais pour l'instant j'ai du mal à trouver des infos...

Merci pour votre aide,
Adrien

Edit : Et si quelqu'un sait pourquoi y a des barres noires sous mes formules LateX, je suis aussi intéressé par la réponse !

[C'est un bug de l'afficheur LaTeX, apparu depuis le récent transfert du forum.
La période des vacances n'est pas favorable à une correction rapide. AD]

Edit2 : Ok, c'est pas moi qui ai coché une case en trop ou en moins, ça va

JJ

Salut

Renseigne-toi au sujet de la fonction W de Lambert
x = (1/(2a)) [-2a W(-2ab²)]^(1/2)

Askelad

Merci JJ, mais, sauf erreur de calcul de ma part, avec ta proposition, je vais obtenir du $x^2 e^{- a x^2}$ et non pas du $x e^{- a x^2} $ comme je le cherche ?

JJ

Vérifie ton calcul et éventuellement mets le sur le forum...
bien cordialement,
JJ.

et pendant que tu y est, fait la même chose pour l'équation x²exp(-ax²)=b
Bien sûr, le resultat ne sera pas le même : x=(1/(2a))[-4aW(-ab)]^(1/2)

Askelad

Autant pour moi, je m'étais planté dans le calcul !
Merci