Fonction indicatrice d'Euler et preuves

Bonsoir à tous,

je voulais savoir si quelqu'un savait s'il existe une démonstration du fait que la fonction indicatrice d'Euler est multiplicative qui n'utilise pas le théorème Chinois.
Peut-être est-ce absurde de vouloir une démonstration qui s'en passe, mais sait-on jamais !

Merci (:D

Réponses

  • Version longue :

    Pour toutes fonctions $f$ et $g$ de $\N^*$ dans $\C$ on note
    $$(f\ast g)(n)=\sum_{dd'=n}f(d)g(d')$$
    le produit de convolution sur le semi-groupe $\N^*$. La convolution est associative et commutative. Si $f$ et $g$ sont multiplicatives alors $f\ast g$ l'est. L'élement neutre est la fonction $\delta$ telle que $\delta(1)=1$ et $\delta(n)=0$ sinon.

    Notons $\mathbf{1}$ la fonction constante égale à 1, et $N$ la fonction telle que $N(n)=n$ pour tout $n\in\N^*$.

    On montre sans utiliser le théorème chinois que $\varphi\ast\mathbf{1}=N$. D'après la formule d'inversion de Möbius, on a $\varphi=N\ast\mu$, donc $\varphi$ est multiplicative.


    Version courte : on montre par récurrence sur $(m,n)$ premiers entre eux que $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ en utilisant la formule
    $$n=\sum_{dd'=n}\varphi(d).$$
  • Bonjour Toto,
    tu peux montrer de façon combinatoire que $\varphi(n)=n\prod(1-1/p_k)$ où les $p_k$ sont les diviseurs premiers de $n$ et dès lors la multiplicativité s'ensuit.

    Cordialement, j__j
  • JLT: merci bien pour cette preuve (:D

    john_john: serait-il possible que tu me montrasses les grandes lignes de la démonstration ?
  • P.S. J'ai corrigé une erreur dans la dernière formule de mon message précédent.
  • toto, il suffit d'appliquer la formule du crible (ou de Poincaré) de manière idoine.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Oui Gilles, je m'en suis rendu compte en lisant le fil remonté par aléa...

    Merci bien B-)
  • @Gilles,

    oui, exactement, $\varphi(n)$ est égal à $n$ moins la somme des multiples des $p_k$ (compris entre $1$ et $n$) plus la somme des multiples des $p_kp_\ell$ (compris entre $1$ et $n$) etc.

    Cela donne $n-\displaystyle\sum\dfrac n{p_k}+\sum\dfrac n{p_k\cdot p_\ell}+\cdots=n\prod(1-1/p_k)$.

    Toto : cela répond-il à ta question ?

    Bien cordialement, j__j
  • Parfait !

    (tu)
  • Je remonte ce fil (maintenant que j'ai la tête reposée)...

    JLT: aurais-tu l'amabilité de me donner quelques plus amples explications sur la toute dernière somme de ton message: $$n=\sum_{dd'=n}\varphi(d)d' \ ?$$
    Y a un truc qui me chiffonne. :S
  • Désolé, j'avais encore fait une erreur de frappe. La formule correcte est
    $$n=\sum_{dd'=n}\varphi(d).$$

    Ceci se démontre en écrivant que $\{0,\ldots,n-1\}=\amalg A_d$ où $A_d$ est l'ensemble des entiers $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ tels que $pgcd(k,n)=\frac{n}{d}$.
  • Bonjour,

    Pour mémoriser certains résultats, j'avais pensé à ce [size=medium]graphique.[/size]

    Je ne sais pas si c'est nouveau. Les remarques de Borde sont perdues :S . . . et pour toujours.
  • ->Cidrolin: celles de qg77 semblent aussi se diriger vers les étoiles, ce qui est tout aussi regrettable...

    voir:

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,522970,522970#msg-522970
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Ont-ils déménagé sur un autre forum ?

    Quelles sont les raisons de la suppression de leurs messages ?
  • Bonjour,

    je remonte ce fil pour avoir plus de précisions sur la "version courte" dont parle JLT.
    Je bute sur la récurrence, doit y avoir un argument qui m'échappe...
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