Eurêka et carrés

dans Arithmétique
Bonsoir,
Il est connu que l'eurêka de GAUSS est équivalent à la formulation suivante :
"Tout entier naturel de la forme 8k+3 s'écrit comme somme de trois carrés d'entiers impairs"
dont je cherche depuis plusieurs années - eh oui je suis tenace et peut-être trop borné pour ne pas trouver - une démonstration par récurrence qui soit simple en m'appuyant sur les décompositions en différence de deux carrés impairs des entiers naturels de la forme 8k dont l'existence est validée par la relation quasi triviale 8k = (2k+1)² - (2k-1)² et sur le fait que 3 = 1²+1²+1², récurrence qui pourrait irriguer les démonstrations de ce qui suit.
Ces décompositions de 8k induisent très simplement des décompositions des entiers naturels de la forme n = 8k+7 sous la forme n = a² - b² - c², mais il est plus délicat de démontrer qu'il existe des décompositions de ce type vérifiant de surcroit (b²+c²) < n.
L'eurêka de Gauss induit quant à lui pour les entiers naturel n = 8k+5 qu'ils sont somme de cinq carrés impairs, mais saurez-vous démontrer que tout entier n de ce type est de la forme n = a² + 2b² + 2c², a,b et c entiers impairs ?
Le résultat sur les 8k+7 nous conduit à écrire tout 8k+5 sous la forme n = a² - s² - t² - u² - v² et l'on serait tenté de rechercher des expressions de la forme a² - 2b² - 2c² sauf que 8k+5 = (4k+3)² - (4k+2)² = (4k+3)² - 4.(2k+1)² ou décomposition de Fermat triviale, mais évidemment on n'a pas la partie négative < n alors que si l'on s'en tient au double de deux carrés pour la partie négative cette inégalité pourrait prévaloir (désolé je n'ai pas vérifié et encore moins démontré cela).
Cela étant dit, les formes a²+b²+c² , a² - b² - c² et a² +2b² + 2c² existent aussi toutes trois lorsque n = 8k+1 mais dans ce cas b et c sont pairs, avec toujours la condition b²+c² < n pour la seconde.
Ceci nous amène aux entiers pour lesquels il existes des décompositions où b=c (et que je dénomme "alfrediens" - et pour les puristes disons qu'il serait ainsi rendu hommage au frère d'un certain Evariste) et bien sûr les nombres premiers sont alfrédiens et n'ont même qu'une seule décomposition laquelle est primitive (ie a et b premiers entre eux) s'il est congru à 3, 5 ou 7 mod 8, ou une de chaque type lorsqu'il est congru à 1 (cela reste à démontrer mais il y a le théorème d'Euler pour les premiers 4k+1, et cela a été démontré également pour les 8k+3, voir un post sur ce forum dont je n'ai plus les références, désolé).
On peut alors faire le lien certes artificiel en première analyse avec Goldbach où les décompositions ne sont plus liées à des carrés mais à des nombres premiers impairs bien plus nombreux, conjecture revisitée ainsi :
Tout entier naturel pair m > 6 est somme de deux nombres premiers impairs distincts
Tout entier naturel pair est différence de deux nombres premiers impairs distincts et ce d'une infinité de manière (ce qui induit la conjecture des nombres premiers jumeaux)
Tout entier naturel impair n > 6 est de la forme n = p + 2q p et q étant des nombres premiers distincts
Tout entier naturel impair n est de la forme n = p - 2q p et q étant des nombres premiers distincts et ce d'une infinité de manières
Tout entier naturel impair n est de la forme n = 2p - q p et q étant des nombres premiers distincts et ce d'une infinité de manières.
Comme je suis un feignant de première doté d'un égo surdimensionné je suis bien sûr persuadé que cela est vrai (bon la borne 6 est peut-être à relever un petit peu ?). Les plus sceptiques pourront toujours vérifier cela jusqu'aux limites de leur ordinateur et éventuellement me casser du sucre sur le dos, et les génies esquisser des démonstartions diverses et variées avec l'espoir fou de venir à bout de cette conjecture de Goldbach qui se gausse des mathématiciens et les nargue depuis des lustres...
Faites de beaux rêves
Euzenius
.
Il est connu que l'eurêka de GAUSS est équivalent à la formulation suivante :
"Tout entier naturel de la forme 8k+3 s'écrit comme somme de trois carrés d'entiers impairs"
dont je cherche depuis plusieurs années - eh oui je suis tenace et peut-être trop borné pour ne pas trouver - une démonstration par récurrence qui soit simple en m'appuyant sur les décompositions en différence de deux carrés impairs des entiers naturels de la forme 8k dont l'existence est validée par la relation quasi triviale 8k = (2k+1)² - (2k-1)² et sur le fait que 3 = 1²+1²+1², récurrence qui pourrait irriguer les démonstrations de ce qui suit.
Ces décompositions de 8k induisent très simplement des décompositions des entiers naturels de la forme n = 8k+7 sous la forme n = a² - b² - c², mais il est plus délicat de démontrer qu'il existe des décompositions de ce type vérifiant de surcroit (b²+c²) < n.
L'eurêka de Gauss induit quant à lui pour les entiers naturel n = 8k+5 qu'ils sont somme de cinq carrés impairs, mais saurez-vous démontrer que tout entier n de ce type est de la forme n = a² + 2b² + 2c², a,b et c entiers impairs ?
Le résultat sur les 8k+7 nous conduit à écrire tout 8k+5 sous la forme n = a² - s² - t² - u² - v² et l'on serait tenté de rechercher des expressions de la forme a² - 2b² - 2c² sauf que 8k+5 = (4k+3)² - (4k+2)² = (4k+3)² - 4.(2k+1)² ou décomposition de Fermat triviale, mais évidemment on n'a pas la partie négative < n alors que si l'on s'en tient au double de deux carrés pour la partie négative cette inégalité pourrait prévaloir (désolé je n'ai pas vérifié et encore moins démontré cela).
Cela étant dit, les formes a²+b²+c² , a² - b² - c² et a² +2b² + 2c² existent aussi toutes trois lorsque n = 8k+1 mais dans ce cas b et c sont pairs, avec toujours la condition b²+c² < n pour la seconde.
Ceci nous amène aux entiers pour lesquels il existes des décompositions où b=c (et que je dénomme "alfrediens" - et pour les puristes disons qu'il serait ainsi rendu hommage au frère d'un certain Evariste) et bien sûr les nombres premiers sont alfrédiens et n'ont même qu'une seule décomposition laquelle est primitive (ie a et b premiers entre eux) s'il est congru à 3, 5 ou 7 mod 8, ou une de chaque type lorsqu'il est congru à 1 (cela reste à démontrer mais il y a le théorème d'Euler pour les premiers 4k+1, et cela a été démontré également pour les 8k+3, voir un post sur ce forum dont je n'ai plus les références, désolé).
On peut alors faire le lien certes artificiel en première analyse avec Goldbach où les décompositions ne sont plus liées à des carrés mais à des nombres premiers impairs bien plus nombreux, conjecture revisitée ainsi :
Tout entier naturel pair m > 6 est somme de deux nombres premiers impairs distincts
Tout entier naturel pair est différence de deux nombres premiers impairs distincts et ce d'une infinité de manière (ce qui induit la conjecture des nombres premiers jumeaux)
Tout entier naturel impair n > 6 est de la forme n = p + 2q p et q étant des nombres premiers distincts
Tout entier naturel impair n est de la forme n = p - 2q p et q étant des nombres premiers distincts et ce d'une infinité de manières
Tout entier naturel impair n est de la forme n = 2p - q p et q étant des nombres premiers distincts et ce d'une infinité de manières.
Comme je suis un feignant de première doté d'un égo surdimensionné je suis bien sûr persuadé que cela est vrai (bon la borne 6 est peut-être à relever un petit peu ?). Les plus sceptiques pourront toujours vérifier cela jusqu'aux limites de leur ordinateur et éventuellement me casser du sucre sur le dos, et les génies esquisser des démonstartions diverses et variées avec l'espoir fou de venir à bout de cette conjecture de Goldbach qui se gausse des mathématiciens et les nargue depuis des lustres...
Faites de beaux rêves
Euzenius
.
Réponses
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Rebonsoir,
Concernant les décompositions des n= 8k+5 sous la forme n = a² - 2b² - 2c², c'est sans intérêt d'autant que cela ne marche pas avec la condition 2b²+2c² < n (voir par exemple 37), et ce sont les décompositions type Fermat (b = c) dont la triviale qui importent.
Euzenius -
Bonjour,
Sur le parallelisme ou l'analogie entre des décompositions de la forme n = a² - 2b² avec a et b impairs (donc n de la forme 8k+7) ou n = 2a² - b² avec a et b impairs (donc n de la forme 8k+1 et il est simple de passer à une décomposition de la forme n = u² - 2v² où u est impair et v pair), décompositions en nombre infini hors condition "alfrédienne" 2b² < n (ou 2v² < n) ce qui est également très simple à démontrer (et dont l'existence est conjecturée dès lors que n est premier pour ne pas dire démontrée), et les décompositions de tout entier naturel impair m en m = p - 2q, p et q premiers (distincts forcément), d'une infinité de manières et en m = 2p - q, p et q premiers distincts, d'une infinité de manières là encore, la "densité" des premiers 8k+1 et 8k+7 (en nombre infini selon le théorème de Dirichlet) est une sorte de justification (sur un plan euristique et non démonstratif pour le moment).
Euzenius -
Bonsoir
Puisque "de Polignac et Goldbach" refont leur apparition sur le forum, je ne peux que rajouter dans la conjecture de Goldbach revisitée que si pour tout entier pair n (>0) il y a une infinité de décompositions de la forme n = p - q avec p et q premiers, il y en a donc une infinité avec q<p premiers consécutifs.
Ceci étant dit, je reviens à l'affaire de Gauss (l'eurêka) et d'Euler (nombres eulériens) car ces deux résultats se complèteraient ainsi (Théorème d'Euler Gauss ?) :
Soit n un entier naturel impair
Si n = 8k+1, il existe a, b et c entiers impairs tels que n = b² + c² - a² et a² < n (la démonstration ne présente pas de difficulté majeure puisque l'on part de la décomposition de 8k en différence de deux carrés impairs à laquelle on ajoute donc 1² et on "descend" algébriquement jusqu'à obtenir la condition d'Alfred) . De plus n est premier ssi il existe une unique décomposition (alfrédienne) n = 2b² - a², primitive (ie a et b premiers entre eux) - c'est pour le moment a priori non démontré. Dans ce cas il est alors simple de voir qu'il en existe une unique n = a² - 2b² avec a impair et b pair premiers entre eux et 2b² < n . On sait (théorème d'Euler) qu'il en existe encore une unique et primitive de la forme n = a² + 4b² avec b pair et de même une unique de la forme n = a² + 2b² avec b pair encore (par contre si n n'est pas premier il n'est nullement garanti que l'on ait des décompositions vérifiant la condition alfrédienne de la forme n = a² - b² - c² (a impair , b et c pairs, b² + c² < n) ou n = a² + b² + c² ou encore n = a² + 2b² + 2c² (avec toujours a impair et les deux autres pairs).
Si n = 8k+3, il existe a, b et c impairs tels que n = a² + b² + c². De plus n est premier ssi il existe une unique décomposition (alfrédienne donc) n = a² + 2b², primitive forcément.
Si n = 8k+5, il existe a, b et c impairs tels que n = a² + 2b² + 2c² (non démontré à ma connaissance). De plus n est premier ssi il existe une unique décomposition (alfrédienne) n = a² + 4 b², primitive (c'est encore le théorème d'Euler)
Si n = 8k+7, il existe a, b et c impairs tels que n = a² - b² - c² avec b²+c² < n (la démonstration ne présente pas plus de difficulté que dans le cas 8k+1). De plus (non démontré a priori) n est premier ssi il existe une unique décomposition alfrédienne n = a² - 2b² avec 2b² < n.
Remarque 1 : Dickson a démontré, pour une classe d'entiers naturels comprenant les impairs, que n = a² + 2b² + 4c² qui sont 8k+7 lorsque a, b et c sont impairs. Cependant la réduction quand b=c conduit à la forme a² + 6b² mais tous les entiers 8k+7 premiers n'ont pas nécessairement de décomposition de ce type (voir par exemple 23, mais bien d'autres encore...). Pour 8k+1 on pourrait alors peut-être s'intéresser aux décompositions de la forme n = a² + 4b² + 4c² avec a, b et c impairs qui conduisent bien aux formes alfrédiennes a² + 8b² donc a² + 2c² avec c pair, mais visiblement 65 ne possède aucune décomposition de la forme a² + 4b² + 4 c² avec a, b et c impairs. D'où le choix des formes dans le "Théorème d'Euler Gauss".
Remarque 2 : j'ai déjà sur ce forum attiré l'attention sur la constatation suivante concernant les formes alfrédiennes a²+µb² avec µ = 2 , -2 ou 4. Si un entier impair possède deux décompositions (nécessairement primitives sinon la factorisation du nombre est quasi immédiate s'il possède une décomposition non primitive) distinctes n = a²+µb² = c²+µd², alors le produit des deux via la double identité (a²+µb²)x(c²+µd²) = (ac - µbd)² + µx(ad+bc)² = (ac+µbd)² + µx(ad-bc)² produit deux formes de même type de n² qui ne sont pas primitives et les pgcd correspondants sont des facteurs propres de n. En conséquence si un nombre impair possède deux décompositions alfrédiennes primitives distinctes du même type il ne saurait être premier, mais encore faudrait-il démontrer le premier point...
Bonne réflexion.
Euzenius -
Bonjour,
Petite correction : dans la remarque 1 c'est 25 et non 65 puisque 65 = 5² + 4x1² + 4x3² qu'il fallait lire bien sûr. Mea culpae...l'heure tardive sans doute ?
Euzenius -
Bonjour
Précisions concernant une possible démonstration du "théorème d'Euler Gauss".
L'existence de forme "gaussienne" (celles utilisées dans l'énoncé du théorème ou du moins conjecture pour une partie) vérifiant la condition alfrédienne (partie négative en valeur absolue < n), pour n > 1 impair dans le cas où n est 8k+1 ou 8k+7 découle d'une descente sur la partie négative utilisant les identités concernant les produits de la forme a² + b² - c² - d² (pseudo-norme de quaternions déployés ou fendus ou bifides ou fourchus... selon la terminologie employée pour désigner les split quaternions de terminologie anglaise). Cette descente nécessairement finie fournit donc une telle forme (il ne s'agit pas simplement d'en assurer l'existence).
Dans le cas 8k+3 on peut utiliser Gauss, mais je ne crois pas que la démonstration de Gauss permette de fournir une forme particulière, il me semble qu'elle n'en assure que l'existence. Donc pour 8k+3 et 8k+5 il me semble que la méthode des identités utilisée pour 8k+1 et 8k+7, mais au niveau octonionique fourchu cette fois, puisse être la bonne solution pour obtenir des formes gaussiennes (qui vérifient automatiquement la condition alfrédienne puisqu'il n'y a pas de partie négative).
Le hic est que cette méthode nécessite au préalable de cerner les 1024 identités possibles parmi un potentiel de 65536 (pour rester bref) et que cela n'est plus réalisable à la main. Ensuite une fois que l'on a répertorié ces identités on s'amuse à multiplier par -1 = 1² + 1² + 1² - 1² - 1² - 1² - 1² un nombre pair de fois et on extrait du flot d'expressions quadratiques obtenues (à la louche et en multipliant deux fois par -1, cela tourne autour d'un bon million, donc bon courage...) celles qui "descendent" notre expression de départ dans le bon sens.
Par exemple pour les 8k+3, ils sont nécessairement de la forme a² + b² + c² + d² - m² avec a, b, c, d et m impairs et on cherche à ce que le minimum de |n - m| pour n = a, b, c ou d décroisse strictement à chaque pas (double multiplication par -1).
Pour 8k+5, il est d'abord nécessaire de démontrer que tout n impair est de la forme a²+ 2b²+4c² (ou s'en remettre à la démonstration de Dickson). Comme il est simple à partir de la décomposition de Fermat triviale (2k+1 = (k+1)² - k²) de montrer que tout entier n est de la forme a²+2b² + 4c² - 2d², il suffirait donc de démontrer que ces expressions se descendent strictement sur d tant que d>0 si bien que l'on parviendrait en un nombre fini d'étapes à une expression avec d=0.
Dès lors comme tout nombre 8k+7 est de la forme a² + 2b² + 4c² avec a, b et c impairs il est simple de voir que les entiers naturels 8k+5 sont de la forme a² + 2b² + 4c² - 2d², et il suffirait de descendre en |c - d| strictement jusqu'à donc obtenir c=d et donc la solution à notre problème.
On aurait donc démontré "l'eurêka généralisé de Gauss" et resterait la généralisation du résultat d'Euler. Il faudrait dans un premier temps démontrer que tout nombre premier est "alfrédien" (ou bicarré vérifiant la condition alfrédienne). Soit on y parvient via la méthode des extensions quadratiques (qui permettraient de régler l'unicité) soit on utilise le résultat suivant :
Tout n>1 impair est décomposable sous la forme n = a² - 2b² + 4c² avec 2b²<n (ce qui se démontre avec les identités quaternioniques fourchues en partant des expressions déduites de la décomposition de Fermat triviale) ce que j'appelle des formes "euzéniennes" (dans la mesure où l'avatar "euzenius" dérive de "2^n x i", i signifiant "impair" favorisant donc notre si belle langue française si bien parlée dans nos si belles régions -c'est du JT TF1 sorry - donc "deux-enne-i" qu'il suffisait de latiniser pour faire un peu plus docte et tout le tralala ou tintouin).
J'avoue fort humblement (ce qui est bien sûr très dur lorsqu'on a un égo surdimensionné) ne pas savoir comment montrer qu'un nombre premier impair a nécessairement une décomposition qui soit à la fois gaussienne et euzénienne et que cette double particularité induise nécessairement une forme alfrédienne laquelle est nécessairement primitive.
Ensuite comme je l'ai fait remarquer antérieurement le fait qu'un entier impair ait deux formes alfrédiennes distinctes du même type induise qu'il ait des facteurs propres (la démonstration est hors de ma portée actuellement désolé - nouvelle grave atteinte à mon égo mais c'est aussi cela les maths... - mais si quelqu'un trouve alors tant mieux) implique que cette forme alfrédienne est unique. Comme la double identité des produits (a²+µb²)x(c²+µd²) rappelée plus haut assure que les impairs alfrédiens (les entiers qui ont des décompositions alfrédiennes) ont nécessairement au moins deux décompositions alfrédiennes primitives ou une non primitive, l'unicité d'une décomposition alfrédienne primitive implique la primalité de l'entier impair.
Dès lors le théorème d'Euler Gauss serait démontré (du moins en ce qui concerne les expressions avec des carrés impairs car pour les alfrediens du genre a² + 4b² ou a² + 2b² pour 8k+1 on peut renvoyer vers les démonstration d'Euler et consorts).
Merci pour votre patiente attention et votre aimable indulgence, et on verra si cet appel à résoudre collectivement ce théorème d'Euler Gauss via les expressions quadratiques découlant des octonions fourchus ou fendus est entendu.
Euzenius -
Bonsoir,
Pour la factorisation des entiers naturels n impairs alfrédiens non premiers (cad ayant une décomposition de la forme a²+µb² où µ = -2, 2 ou +4 et µb² < n), lorsque l'on suppose que n = a² + µb² = c² + µd² décompositions primitives (donc b et d non nuls), en les multipliant on obtient deux décompositions de n² : (ac - µbd)² + µ (ad+bc)² et (ac+µbd)² + µ(ad-bc)², soit A²+µB² et C²+µD².
J'ai indiqué que l'on pouvait constater sur de nombreux exemples que pgcd (A,B) et pgcd (C,D) sont des facteurs propres de n. On obtient facilement que le produit ABCD = n² |a²b² - c²d²| donc que n² divise ABCD car a²b² - c²d² n'est pas nul. Peut-on en déduire que les pgcd de A et B d'une part et C et D d'autre part sont bien des facteurs propres de n et même des facteurs propres complémentaires (dont le produit vaut n) ?
Merci par avance de vos lumières.
Euzenius -
Bonsoir
Les rendez-vous quasi quotidiens de ce fil autour d'une généralisation de résultats d'Euler (les nombres eulériens) et de Gauss (l'eurêka en terme de carrés qui en a justifié le titre) en un "Théorème généralisé d'Euler Gauss" (dont certains points ne sont pas encore démontrés mais se vérifient sans problème) font entrevoir la question de la factorisation des entiers impairs, le pendant de la primalité, questions réputées difficiles a priori.
Pour ceux qui ont eu la patience de lire ma prose, vous aurez noté que se pose au niveau de la démonstration de ce théorème conjecturel, le problème de montrer que tout entier impair premier est "alfrédien" c'est à dire de la forme a²+µb² avec µ = -2, +2 ou +4 selon le modulo 8 du nombre étudié, et j'ai indiqué que cela résulterait de l'existence d'une forme qui serait à la fois "gaussienne" (avec des carrés impairs) et "euzénienne" (cad de la forme a² - 2b² + 4c²).
Le maniement des formes euzéniennes dans le contexte des décompositions de la forme a² + b² - c² - d² plus générales, depuis un certain temps déjà, m'amène à penser (ce qui ne saurait être une preuve bien entendu) que les algorithmes découlant de réarrangements quaternioniques ou octonioniques pour obtenir des formes gaussiennes ou euzéniennes vérifiant la condition d'Alfred à partir d'une forme initiale donnée (triviale ou non) pourraient conduire à identifier des formes minimales (pas forcément alfrédiennes) dont le produit via les identités "octonioniques" fournirait via un pgcd ad hoc des facteurs propres du nombre. N'ayant pas jusqu'à présent eu à l'esprit ces formes "gaussiennes" telles que présentées plus haut dans ce fil, le seul usage des formes euzéniennes pédalait quelque peu dans la choucroute pour résoudre le problème de la factorisation.
C'est peut-être croire au "père noël", me direz-vous, mais si la factorisation des nombres se faisait de cette manière cela expliquerait que l'on ait pu croire que le problème était complexe et réputé très difficile puisque cette méthode nécessite, comme je l'ai dit, d'identifier les 1024 occurrences de l'identité octonionique (produit des pseudo-normes des octonions fourchus) puis de "s'amuser à multiplier par -1 = 1² + 1² + 1² - 1² - 1² - 1² - 1²" un nombre pair de fois et naviguer dans le dédale de décompositions produites pour dénicher les plus pertinentes, ce qui ne m'apparaît pas possible à la main ! Enfin il faut jongler avec un nouveau produit donnant n² et faire les choix judicieux pour qu'un pgcd nous donne sur un plateau un facteur propre de n, et vu ce qui se passe avec les décompositions alfrédiennes on peut supputer que cela ne sera pas de la tarte, sauf heureux hasard...
Donc voilà pourquoi il m'apparaît important de développer un logiciel performant pour ce faire, craignant que Maxima & co ne soient point adaptés (mais je ne suis plus un spécialiste des langages informatiques et ne suis pas formé aux progiciels mathématiques), et ainsi savoir si la factorisation des entiers naturels ne serait pas ainsi résolue.
Merci encore de votre patiente attention.
Euzenius -
Bonjour,
Un ultime petit point sur les décompositions "alfrédiennes" a²+µb²
Concernant leur existence pour les entiers impairs premiers je vous renvoie aux résultats antérieurs auxquels on peut accéder via "Théorème des deux carrés de Fermat" sur wikipedia et qui renvoie aussi aux "entiers algébriques" (démonstration via les résidus quadratiques pour µ = 1 , 2 et encore -2).
Dans le cas µ=-2, il est alors simple de démontrer que si n = a² - 2b² > 1 on peut toujours supposer que 2b² < n (en usant de l'identité de Brahmagupta dans la multiplication de n par -1 = 1² - 2x1² répétée un certain nombre pair de fois).
Ensuite si n entier naturel impair > 1 possède deux décompositions alfrédiennes de même type, primitives et distinctes a²+µb² et c²+µd² avec |µb²| et |µd²| strictement inférieurs à n, on démontre bien que pgcd (A,B) et pgcd (C,D) où A, B,C, D sont les coefficients des décompositions alfrédiennes de n² (résultant de la double idendité de Brahmagupta appliquée à nxn) sont bien des facteurs propres de n (en usant bien du produit ABCD comme indiqué dans un post antérieur lequel produit est non nul et est divisible par n²). L'existence de deux décompositions n'est donc pas simplement un critère de non primalité (par exemple comme le fit EULER pour le 5ième nombre de Fermat (2^16)² + 1 = 20449² + 62264²), mais induit bien la factorisation du nombre (certes via un algorithme de pgcd qui rallonge la sauce). Il reste donc à démontrer que tout entier n congru à 5 modulo 8 est de la forme n = a² + 2b² + 2c² avec a, b et c entiers naturels impairs.
[PM : Modéré pas de message personnel SVP]
Euzenius -
Il est curieux qu'un tel sujet -qui semble très intéressant- (même si je dois avouer que je n'ai pas tout lu) n'ai eu aucune réponse depuis sa création !
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C'est un peu long à lire et puis peut-être que les lecteurs ne sont pas très motivés pour lire la prose d'Euzenius, que je range, peut-être à tort, avec Pablo et autres, qui ont vision très personnelle des mathématiques.
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Bon alors : (premier message, première phrase)
"Il est connu que l'Eurêka de Gauss est équivalent à ..."
J'aimerais avoir plus de renseignements sur cette affirmation. -
Bonsoir Philippe.
Pour moi, cette phrase a arrêté ma première lecture. Le fait qu'il y ait 9 messages de suite (soliloque) m'a carrément découragé de chercher un sens !
Cordialement. -
s'il est possible de démontrer que:
$a^2+b^2+c^2+8$ , $a,b,c$ entiers naturels impairs, est une somme de trois carrés de nombres impairs alors une démonstration par récurrence du résultat annoncé dans le premier message est possible.
J'imagine qu'on peut "tordre" une des preuves de ce résultat pour la transformer en raisonnement par récurrenceLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonjour,
Merci de vos réponses.
Concernant l'approche des mathématiques par "Euzenius", elle peut sembler déconcertante et je le comprends tout à fait de la part de personnes qui font profession des mathématiques et évitent alors de s'impliquer dans des sujets qui peuvent leur sembler issus de la sphère des amateurs dont on sait qu'un grand nombres sont farfelus et souvent peu enclins à bien comprendre le sens de ce qu'est une démonstration. Néanmoins, le "maître" d'Euzenius même s'il s'est éloigné de la mathématique au sens professionnel du terme arpentait voici un certain temps les couloirs de 3ième cycle de mathématiques "pures" d'une université parisienne bien connue. Le retour vers les mathématiques via le domaine de l'art plastique ("Matheureux Ready Made", ce qui peut effrayer, je le conçois tout à fait) se focalise donc sur une branche des mathématiques qui attire bon nombre d'amateurs et usuellement désignée par "arithmétique" laquelle n'est plus sans lien avec l'algèbre et autres... et a acquis depuis plus d'un siècle son titre de fondement axiomatique de la mathématique détronant l'antique géométrie d'une certaine manière (bien évidemment tout cela se discute et je pense que certaines personnes ne partagent pas cet avis ici livré de manière abrupte). Que l'aspect "soliloque" puisse également décourager est donc fort compréhensible également.
Concernant la modération effectuée, j'approuve tout à fait que cela soit bien clair.
Concernant le fait que l'Eurêka de Gauss "Tout entier naturel est somme de trois triangulaires" soit équivalent à l'énoncé "Tout entier naturel congru à 3 modulo 8 est somme de trois carrés d'entiers impairs", je peux retrouver pourquoi, mais cela apparaît dans une démonstration due à CAUCHY dont j'ai oublié comment la retrouver sur internet. Mais bon les nombres polygonaux ne me semblent pas essentiels dans le but que je poursuis dans ce fil et qui concerne plutôt des sommes et différences de carrés d'entiers et qui nous ramènent plutôt aux pseudo-normes des octonions déployés (ou fendus ou fourchus... selon des terminologies admises ou plus ou moins personnelles voire "poétiques" - split octonions en terminologie anglo-saxone a priori - et tout intervenant peut y remettre bon ordre). J'ai essayé de tordre dans tous les sens (mais je ne prétends pas être un cador) a²+b²+c²+8 pour réobtenir une somme de trois carrés impairs sans y parvenir et suis donc resté sur l'acceptation du résultat de GAUSS repris par CAUCHY dont la démonstration m'a semblé fastidieuse (une bonne dizaine de pages si mes souvenirs sont exacts). Si une démonstration par induction existe il me semble qu'elle aurait été démasqué depuis belle lurette ne serait-ce que par GAUSS lui-même, non ?
Cependant la généralisation des identités de "Diophante-Brahmagupta" (il y a d'autres appellations) pour deux carrés à quatre carrés (identité de Lagrange-Euler), avec 16 possibilités au lieu de 2, permet de ramener les expressions en somme et différence de carrés d'entiers impairs pour les entiers naturels congrus à 1 et 7 modulo 8 à des formes où la partie négative est strictement inférieure à l'entier donné (on part du fait que n = 8k = 1 ou 8k-1 selon le cas et comme 8k est d'une manière immédiate différence de deux carrés d'impairs on a trivialement une expression de départ dont la partie négative est en général > n). J'en ai fait la démonstration que je n'ai pas sous les yeux car je suis rarement chez moi où elle se trouve (donc désolé de ne pouvoir la retranscrire dans l'immédiat, mais elle n'est pas très compliquée une fois que l'on a les seize occurrences de l'identité à quatre carrés - produit de pseudo-normes de quaternions déployés ou fourchus).
Je suppute (et peux donc me tromper) que l'identité relative au produit de pseudo-normes d'octonions fourchus pourrait permettre d'offir une autre démonstration (élémentaire donc) à l'Eurêka de Gauss mais aussi à la conjecture (dont j'ignore si elle a déjà été formulée par d'autres, désolé pour ma naïveté...) concernant les entiers naturels congrus à 5 modulo 8 : n = a² + 2b² + 2 c² où a, b et c sont des entiers impairs. Mais cette identité possède un grand nombre d'occurrences (ou formes et je remercie Alain alias AD de m'avoir permis d'en évaluer le nombre à 1024 voire le double) ce qui interdit de pouvoir mener une démonstration à la main afin de démontrer que l'on peut trouver une forme "déployée" de partie négative strictement inférieure tant qu'elle n'est pas nulle. Il est donc probable que je doive me coltiner la programmation d'un module MAXIMA en LISP pour pouvoir y parvenir et aller même plus loin (ce qui justifie un tel module plutôt que de bricoler un programme limité à une utilisation trop précise).
En première analyse (mais il y a peut-être ou sans doute d'autres manières de faire) on note fort trivialement que si n est congru à 5 modulo 8 alors m = n+2 est congru à 7 modulo 8, et l'on peut donc partir du fait que m est alors de la forme m = a² + 2b² + 4c² avec a, b et c impairs, ce qui oblige à le démontrer ou bien il faut user du résultat (concernant une classe plus grande d'entiers naturels, dont les impairs) similaire, dû à DICKSON (et là n'ayant malheureusement pas accès aux ouvrages de ce mathématicien, je lance un appel à toute personne de bonne volonté pouvant m'indiquer si la démonstration de ce résultat est accessible sur internet afin de pouvoir en apprécier la simplicité ou la complexité, merci d'avance), si bien que n = a² + 2b² + (2c)² - 2x1² et il faut alors triturer cela avec l'identité globale pour obtenir n = a'² + 2b'² + 4c'² - 2d'² et "descendre" jusqu'à ce que d" = b" ou d" = c". Bien sûr rien ne permet de dire si cette voie est la bonne actuellement.
Merci de votre patiente lecture.
Euzenius -
Rebonsoir,
Bon, concernant l'équivalence "Eurêka de Gauss" avec les nombres triangulaires (en fait a priori conjecturé par FERMAT) et le "théorème des trois carrés" (pour les entiers naturels congrus à 3 modulo 8) il suffit de rendre visite à "nombres triangulaires wikipedia" (désolé je suis une brêle pour vous glisser l'hyperlien) où l'on trouve la relation ad hoc.
[P.M. : Voici le lien pour les fainéants : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_triangulaire ]
Euzenius -
Bonsoir,
Merci PM pour le rajout du lien.
Une (longue) recherche sur internet m'a ramené à un fil d'il y a 5 ans sur le présent forum initié par Sylvain et dénommé "somme de 4 carrés" où Ritchie m'informait du résultat de L.E. DICKSON (mais le lien vers l'AMS ne fonctionnait pas ce qui n'était pas très grave à ce moment là l'essentiel étant de rendre à César ce qui était à lui) : "Tout entier naturel n qui n'est pas de la forme 4^j x (16k+14) admet la représentation (2) n = a²+b²+2c², a,b et c étant entiers" d'où on déduit facilement que les entiers impairs sont bien de la forme n = u² + 2v² + 4w², puisque a et b sont nécessairement de parités opposées.
Le théorème général des trois carrés de GAUSS indique quant à lui que tout entier naturel n qui n'est pas de la forme 4^j x (8k+7) admet la réprésentation (1) en trois carrés d'entiers n = a² + b² + c², ce qui permet à M Nicolae BRATU (via google) de proposer la généralisation du théorème de Gauss (qu'il appelle Th de BRATU mais que l'on pourrait appeler Théorème de GAUSS DICKSON) en regroupant les deux représentations : "Tout entier naturel admet l'une au moins des représentations (la (2) s'il n'est pas de la forme 2^2j x (8k+7) et la (1) s'il n'est pas de la forme 2^(2j+1) x (8k+7))". Cependant la démonstration m'apparaît simplement esquissée même si je ne doute pas que Nicolae BRATU l'ait produite (via des formes quadratiques). Bien entendu ce théorème de GAUSS-DICKSON est plus fort que le Théorème des quatre carrés de LAGRANGE.
On notera que le théorème des trois carrés de GAUSS dans le cas 8k+3 implique que tout entier naturel est somme d'au plus 10 carrés d'entiers impairs (et cela est même équivalent). Le théorème des quatre carrés de LAGRANGE associé à l'identité :
(2a)² + (2b)² + (2c)² + (2d)² = (a+b+c+d)² + (a+b-c-d)² + (a-b+c-d)² + (a-b-c+d)²
implique que tout entier n congru à 4 modulo 8 est somme de quatre carrés impairs ce qui entraine que tout entier naturel est somme d'au plus 11 carrés impairs (et la relation entre somme de carrés impairs et somme de nombres triangulaires - voir en fin du lien fourni par PM - subsiste).
Mais le présent fil s'intéresse avant tout aux représentations des entiers impairs en lien avec les pseudo-normes d'octonions fourchus avec des carrés impairs, et la représentation conjecturée des 8k+5 sous la forme n = a² + 2b² + 2c² donne bien trivialement une représentation de ce type puisque n = a² + b² + b² +(2c)² - c² - c² par exemple, et ce pour pouvoir user des identités "octonioniques fourchues" (encore faut-il que cette conjecture puisse être démontrée).
J'interroge donc les intervenants de ce forum pour savoir s'il existe une introduction à MAXIMA et donc LISP (le langage de base de MAXIMA) qui me permettrait de gagner un peu de temps si je dois in fine me lancer dans la création d'un "module" MAXIMA ad hoc pour poursuivre l'étude de ces représentations et voir si elles sont une voie vers la factorisation des entiers ou bien une impasse.
Vous observerez néanmoins que les représentations envisagées pour chacune des congruences impaires modulo 8 ne font intervenir que trois carrés impairs (pondérés éventuellement par -1 et 2) : n = a² +ub² + vc² (u et v étant égaux à 1, -1 ou 2). Il s'ensuit que l'on peut exprimer n sous la forme n= A+B de trois façons possibles (on ne fractionne pas 2b² en b² et b² dans chacun des termes A etet examiner le pgcd de A et B.
Ainsi 35 = 5² + 3² + 1² et A = 5² , B = 3²+1² ont pour PGCD 5.
De même 21 = 1² + 2x3² + 2x1² donne A = 1²+2x1² et B = 2x3², qui ont bien pour PGCD 3
Par ailleurs 45 = 3² + 4x3² conduit à extraire le facteur propre 9 = 3²
Si l'on obtient deux décompositions que j'appelle "alfrédiennes" et qui sont primitives, on sait alors en extraire des facteurs propres du nombre.
A l'inverse et pour l'anecdote, la formulation que j'ai donnée au tout début de ce fil concernant les conjectures de GOLDBACH, conduit à des bipartitions irréductibles (pgcd = 1) des nombres par exemple 10 = 7+3 ou 10 = 13 - 3 ou 15 = 11+ 2x2 = 29 - 2x7 = 2x13 - 11 etc...
Merci de votre patience face à ma prose et de vos éventuels conseils MAXIMALISP.
Euzenius -
Bonsoir,
Pour clore ce fil, on ne peut que rappeler l'excellent ouvrage "Théorie des Nombres" de Adrien Marie LEGENDRE (ou du moins l'essai paru en l'an VI du calendrier révolutionnaire) où (p 390 Th I, II, III et IV édition 1830) où sont données les formes représentant les nombres premiers de la forme 8k+1 et 8k+5, 8k+1 et 8k+3, 8k+1 et 8k+7, ainsi que le théorème (p392 et suivantes) des trois carrés (qui concerne les entiers de la forme 4k+1, 4k+2, 8k+3, et leurs multiples par des puissances de 4).
LEGENDRE en déduit aisément (avant donc L.E. DICKSON) que tous les entiers impairs (et leurs doubles hormis ceux des 8k+7) ont une représentation de la forme a² + b² + 2c², donc, comme dit dans le post précédent, u² + 2v² + 4w², et par conséquent lorsque l'entier est de la forme 8k+7, u, v et w sont impairs.
En ce qui concerne les entiers de la forme 8k+5 comme ils sont somme de trois carrés cela est nécessairement de la forme suivante : n = a² + (2b)² + (2c)² avec a et b impairs et c pair. Dès lors 4(b²+c²) =2 [(b+c)² + (b-c)²] et b+c ainsi que |b-c| sont des entiers naturels impairs et par conséquent en posant u=a, v=b+c et w=|b-c| on a bien n = u²+2v²+2w² où u, v et w sont impairs.
Je vais donc pouvoir regarder plus sereinement l'application des identités issues des pseudo-normes des octonions fourchus pour obtenir ces représentations des entiers impairs et voir si cette voie conduit bien à la factorisation des entiers impairs non premiers et à la caractérisation de ceux premiers.
Bonne nuit.
Euzenius
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