Nombre de zéros d'une fonction

Bonjour,

Après avoir longtemps cherché, je reste bloqué sur ce problème :

Soit f une fonction IR -> IR de classe C infini, 2pi-périodique et de moyenne nulle.
Prouver que f +f '' admet 4 zéros sur [0, 2pi[.

Le fait que f soit 2 pi périodique, fait penser aux séries de Fourier ?
Je ne vois pas le lien avec f ''.

Avez vous une piste pour m'éclairer ?

Merci

Réponses

  • C'est quoi $f''$ si $f$ est de classe $C^1$ ?
  • Bonjour,

    Effectivement il y a eu un loupé.
    f est de classe C infini

    Je corrige l'énoncé
  • Have a look here.
  • C'est une conséquence du théorème de Sturm-Hurwitz :
    En l’occurrence pour tout entier $k \in \{-1,0,1\}$ le $k$-ième coefficient de Fourier de $\varphi$ est nul (immédiat en développant en série de Fourier). Par contre je n'ai pas de référence accessible sous la main pour ledit théorème (et encore moins sa preuve).

    "rappel": si $\f(x) = \sum\limits_{k=N}^{+\infty} a_k e^{ikx}$ alors $x \mapsto \Re\big(f(x)\big)$ s'annule au moins $2N$ fois sur $[0,2\pi[$
    Avec $(a_k)_{k \geq N}$ suite "raisonnable" (ha ha)

    Peut-être qu'un connaisseur de Fourier pourra nous dépanner...
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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