Progression MP et hors programme.

clemclem

Bonjour,

Je vais être colleur en MP au lycée Saint-Louis l'année prochaine et je commence à préparer mes exercices pour l'année prochaine. Jusqu'ici, j'en ai rassemblé 186 mais j'aurais aimé connaître la progression de certains d'entre vous pour voir à quel type de semaine de colles je dois m'attendre l'année prochaine.

De plus, j'aurais aimé savoir si je devais prévoir selon vous des exercices proches du programme : topologie dans les métriques, signature et forme quadratique, itérées de Picard, Cauchy-Lipschitz dans sa forme locale Lipschitz + continue, réduction des endomorphismes hermitiens ou normaux.

Merci d'avance

ptolemee0

A mon avis il vaut mieux contacter directement l'équipe enseignante http://www.ac-paris.fr/serail/jcms/s1_118547/maths

Par ailleurs, voici les conseils l'on trouve sur le site d'une autre CPGE de même niveau mais pour leurs MP* http://www.mp1.bginette.com/note_aux_colleurs.php

capesard

bonjour,

i) Cauchy-Liptschiz dans la forme locale, j'ai tjrs entendu dire que ce n'était pas au programme des prépas mais de L3
ii) Les topologies duales faibles, *-faibles, si les exercices sont bien didactiques,
les collés seront plutôt contents
iii) signature,; forme quadratiques ,oui, le théorème de Sylvester, décomposition LU d'une matrice sont déja au programme de la prépa capes

iv) les problèmes de décomposition spectrale d'opérateurs compacts peuvent préparer
à l'étude de HR

v) tu peux p-e prévoir des approximants de Padé qui sont à la charnière entre TAN et l'analyse complexe, le théorème de Sturm (on l'a vu au capes, très joli!) , des résultats de transcendance façon Hermite , les corps finis et les codes correcteurs de Hamming (Wassef,Demazure)


vi) l'algèbre multi-linéaire , les morphismes entre espaces $\Lambda(n)$ prépare à l'étude
des fibrés sur les variétés (orientation des variétés)

vii) la représentation par intégrale (le procédé est linéaire, sommatoire
et dépend de la théorie de la mesure)

viii) les fonctions définies par des réciproques d'intégrales

ix) les noyaux intégraux (Féjer, Green, ..)

x) l'application des différentielles à l'AN (Runge-Kutta,etc..)
et problèmes minmax

xi) éléments finis, découpages du plan en triangles avec coordonnées
barycentriques locales
découpage du plan hyperbolique

xii) pavages du plan périodiques (il y en a dix-sept) et a-périodiques (Penrose)

xiii) démo de l'existence des cinq solides de Platon (on projette le graphe des arêtes
sur un plan de fond)
(iii)


xiv) processus concrêt versus processus abstrait

complétion métrique <--> limite inductive , projective
infinitésimaux <---> éléments nilpotents
intégrale Lebesgue, Kurzweilt-Hens-tock <--> intégrale d'Ito, calcul de Malliavin


xv) l'AGM moyenne arithmético géométrique de Gauss
xvi) l'algorithme Brent-Salamin pour pi


xvii) tout ce qui touche à la série harmonique

xviii) nombre de partitions d'un entier (Ramanujan, fonction modulaire)


xix) pour les ingénieurs
Fast Fourier transform, la transformée de Fourier rapide comporte de la dichotomie
très calculatoire , elle repose sur un groupe cyclique de racines de l'unité
(cf l'excellent livre de Gabriel Peyré "le charme discret de la transformée de Fourier")

A +

il faut attendre confirmation d'un prof de prépas.

en espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises...

tt

(Pour info, capesard a un niveau lycée et cherche à démontrer l'hypothèse de Riemann.)

Je te suggère également de contacter l'équipe enseignante.

clemclem

J'aurais préféré éviter de contacter l'équipe enseignante pour ne pas les déranger (j'ai à ma disposition le mail du professeur pour qui je colle).

Concernant les conseils de Ginette, ces derniers me semblent tout à fait classiques (je colle depuis 2 ans déjà en MPSI).

Je vais continuer à remplir mes feuilles d'exercices de grands classiques.

Si vous avez d'autres suggestions ou propositions de progressions et/ou hors-programme, merci d'avance.

capesard

courbes de Bezier
(ii)

(comporte barycentres, raccord de fonctions de classes$C^1$ ou $C^2$ et polynômes)

Entre graphes , matrices d'adjacences et martingales, il y a p-e de jolies choses
matrices et graphes

on peut imaginer, vû que la trace de la matrice est le nombre de boucles du graphe,
que ça conduirait ... à une formule de trace de Selberg combinatoire
si les boucles étaient des géodésiques périodiques premières
pour une métrique combinatoire
qui serait du plus bel effet dans la recherche la plus fondamentale....

capesard

Cher clemclem,
ce qui est souvent apprécié, hors applications immédiates du cours, ce sont les exercices qui sont à la charnière de plusieurs domaines et qui mobilisent des connaissances et d'algèbre, et d'analyse et d'arithmétique (ex: T.Fourier rapide)

willouuu

Bonjour,
une question HS, mais Capesard quelles sont tes qualifications? Rien de méchant dans cette question, pure curiosité.

boun0

Expert en tout.

capesardnl

maitrise de Paris 11 + capes

capesard

je vous laisse discuter, le sujet est "progression des colles,comment choisir ses exercices
et la bonne distance vis à vis du programme".


A +

skyrmion

Bonjour,


Tu peux jeter un oeil ici :

colle mp 2011-2012

Puisque tu colles en mpsi, tu as déjà l'habitude. Ne pas avoir peur de mettre des exercices simples type CCP. C'est souvent déjà suffisant et ça permet de découvrir les choses incomprises. Le plus dur est de savoir la progression du cours d'algèbre. Il y a tant de façons de faire un cours d'algèbre.... Pour l'analyse, il n'y a pas ce problème.



Cordialement, sk.

LP

Capesard a écrit:

v) tu peux p-e prévoir des approximants de Padé qui sont à la charnière entre TAN et l'analyse complexe

alors qu'il y a trois jours sur le forum d'arithmétique

Capesard a écrit:

quelqu'un a un exemple simple d'approximant de Padé que je me fasse une idée?

C'est beau !

Mais pas autant tout de même que

Capesard a écrit:

on peut imaginer, vû que la trace de la matrice est le nombre de boucles du graphe,
que ça conduirait ... à une formule de trace de Selberg combinatoire
si les boucles étaient des géodésiques périodiques premières
pour une métrique combinatoire

Tu pourrais peut-être nous préparer une thèse sur le sujet sous la direction des frères Bogdanoff...

capesard

@LP: bah oui, très volontiers. une thèse de l'université de Nancago.

- avoir une fonction zéta purement combinatoire , associée à un graphe connexe, a de multiples avantages, dûs à la discrétisation.
- je peux t'assurer que les approximants de Padé sont une notion très intéressante,
tu n'as pas tout recopié du message, notamment l'allusion à la formule
de Ramanujan

$$1+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{1.3.5}+\frac{1}{1.3.5.7}+\frac{1}{1.3.5.7.9}+...+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+..}}}}}=\sqrt{\frac{e \pi}{2}}$$

clemclem

skyrmion écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,760640,760739#msg-760739

---

Merci de ces conseils, je connaissais déjà votre site.

Je pense que pour une classe de MP, il est essentiel de maîtriser les grands classiques auxquels je compte rajouter des exercices un peu plus surprenants (niveau petit oral de l'X, Mines, Centrale voir ENS).

Concernant le hors-programme (en dehors de la grande digression de capesard qui me semble pour la plupart très éloigné du programme), je n'ai pas encore eu de réponses sur les thèmes hors-programme classiquement abordés.

Merci d'avance.

Ju’x

Salut,

clemclem a écrit:

De plus, j'aurais aimé savoir si je devais prévoir selon vous des exercices proches du programme : topologie dans les métriques, signature et forme quadratique, itérées de Picard, Cauchy-Lipschitz dans sa forme locale Lipschitz + continue, réduction des endomorphismes hermitiens ou normaux.

En MP à Saint-Louis ça me semble largement inutile, sauf pour une MP* bien sûr. Mais même dans ce cas, le prof t'indiquera lui-même ce qui a été traité en cours et ce qu'il attend des élèves sur le hors-programme.

capesardnl

amha, le challenge des classes prépas, à venir sur ces dix prochaines années,
est de digérer les travaux de l'école Grothendieck. Du point de vue des mathématiques,
c'est comme si nous étions des contemporains de Newton et donc ça va retomber en pluie fine via l'Université , puis dans un temps moins immédiat, via les classes prépas. Plus on raccourcit le temps entre la Recherche et l'ingénierie, et mieux c'est.

capesardnl

ce dont il s'agit en maths, c'est de bien élaguer, de ne garder que l'essentiel.
Il y a trente ans, on étudiait l'analyse harmonique, ça durait un semestre.Maintenant, il ya tellement de choses à voir que l'analyse de Fourier , on la fait tenir en deux , trois théorèmes mastocs (condition de Dirichlet) et puis on passe à autre chose. Pareil pour la mesure de Lebesgue, qui sera expédiée en quelques théorèmes. Cantor également, l'oeuvre a surpris , maintenant les Cantors , on va les expédier en trois coups de cuillères à pôt. Comme ça, place aux structures algébriques et réintroduction de la géométrie. Quant aux méthodes classiques d'ingénierie (éléments finis, EDO, EDP, espaces fonctionnels, discrétisation..) , sympathique, on garde. Tout ce qui est probas, calcul sto, Malliavin, browniens, Itô,c'est un peu comme la bulle financière, ça éclatera sans doute comme un bubble-gum.
Il y a des modes, au siècle dernier ,c'étaient les mesures de Radon , Haar, aujourd'hui, on relativise. J'ai pas fait d'algèbre, mais je suis persuadé que beaucoup attendent que la théorie de Galois descende en classes prépas.
Les travaux de Van den Waerden (algèbre) se sont bien étoffés justement en topos , schémas,etc..ainsi que l'oeuvre de L.Schwartz, les distributions qui ont donné les espaces de Sobolev,semble-t-il.
un programme de prépas , c'est loin d'être évident à concevoir, vû que que ce qui freine les maths et leur essor, c'est qu'il n'y a pas assez de forêts pour imprimer les publications...

Ben

Mais bien sur ...

Concrêtement (de mon coté, j'ai plutot collé en PCSI/PC* mais je vais tâcher d'adapter) il faut prévoir des grands classiques du niveau CCP et Mines/Centrale sur à peu près tout le programme (regarde pour cela dans les RMS à la bibliothèque pour voir ce qui est tombé sur les trois dernières années), et quelques exos pour les élèves très forts ou très faibles. La progression importe peu, puisque le prof est censé tout traiter, et si tu as déjà presque deux cents exos, ça devrait bien se passer.
Deux trucs à prévoir : les questions de cours (même en spé, ça peut rattraper ou plomber un élève), et les questions de Maple (ça tombe à Centrale, un oral avec ordinateur ...)
Au niveau MP, il y a déjà fort à faire en restant dans le programme (sans etre péjoratif), c'est à dire en cherchant à appliquer les gros théorèmes sur des exemples intéressants (parfois même tirés de problèmes d'écrit, en cela je trouve les Mines plus intéressants que le reste, en général). Tu peux aussi préparer quelques exos de géo diff (courbes et surfaces du plan), histoire que les élèves se souviennent que ça peut tomber, de même pour l'algèbre générale (quelques exemples de groupes finis, en situation géométrique, devraient occuper les meilleurs pendant une heure).
Pour les séries de fonctions, donner quelques exemples où les gros théorèmes du programme ne s'appliquent pas (et où il faut en revenir aux majorations ad hoc pour permuter série et intégrale) histoire de voir les cas limite de ce que les élèves doivent admettre. Et pour l'algèbre linéaire, un ou deux exos pratiques de trigonalisation, pour voir s'ils savent faire les calculs. Pour le reste, les rapports de concours sont éloquents (cette année, de bons élèves avaient du mal sur la maximisation d'une fonction de deux variables, alors qu'ils étaient à l'aise sur l'étude d'une série de fonctions ... )

capesardnl

- les ingénieurs ont sans doute le besoin de tester rapidement leurs conjectures et donc de pouvoir écrire rapidement sous Maple un modèle qui leur fournira des indications pratiques de faisabilité (au capes, on a fait des TP tout à fait extraordinaires de modélisation de lois de probabilité avec des procédés numériques exotiques)
- les futurs matheux purs ont besoin d'heuristique solide car au bout d'un certain temps, l'individu devient autonome et dans des situations de recherche, le sol peut devenir incertain,sablonneux, à cause des fondements:
exemples perso :
i) je réfléchis à des séries génératrices classiques et d'un coup, je fais des séries de séries et je ne sais pas du tout si j'ai le droit d'envisager un nombre dénombrable de limites, et des séries de limites.
ii) je fais de l'accroissement "petit" $f(x_0+h)$ de calcul différentiel classique
et je me demande: est ce que je peux écrire l'accroissement $h$ en série dyadique pour avoir du "encore plus petit" ou réciproquement de différentier des séries dyadiques.
en calcul différentiel classique donc là encore le trou noir par manque d'heuristique.
c'est le genre de choses qui arrive à tous et donc c'est bien que les gens possèdent des heuristiques solides sur les opérations du calcul permises ou non
iii) on s'est aperçu pyschologiquement que lors des crises économiques, morales ou financières, les ingénieur(e)s perdaient à leur tour le sens de l'ingénierie écologique et
se mettaient à contruire des building de 500 mètres de haut au lieu faire de l'urbanisme harmonieux,de construire des avions géants au lieu d'optimiser les déplacements
des matières premières, d'élaborer des produits dérivés sur panier d'indices en finance
avec un effet de levier de 1 à 100,etc..
donc d'avoir des "cours d'écologie raisonnable" pour les futurs ingénieur(e)s pourrait être valable.

tt

@capesard : quand on sait ce que sont les mathématiques on n'a pas ce genre de soucis.

capesardnl

@TT: quel genre de soucis "doit" on avoir ?

clemclem

Merci pour toutes ces précisions.

Il me manque donc quelques exercices pour les élèves très faibles et j'aurais bientôt de quoi tenir l'année.

skyrmion

Pour les élèves faibles, je me contente souvent de questions à réponses (qui devraient être) presque immédiates. C'est quand même particulier, parce que un étudiant peut très bien faire un exo "un peu compliqué" et être incapable de répondre à une question élémentaire sur le même sujet. Le genre de questions qui en général mènent à un véritable massacre, mais qui permettent de reprendre les choses du départ, sont des trucs du genre :
Est ce que $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)$ sont isomorphes?
Est-ce que $S_3$ est cyclique?
Calculer la dérivée de $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $g(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,-x)$ où $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ est supposée de classe $C^1$.
Est-ce que $M=\begin{pmatrix} 123 +\sqrt{2} & \ln(4)/7 \\
\ln(4)/7 & 125 \end{pmatrix}$ est définie positive?
Donner une suite équivalente à $u_n$ définie par $u_n=0$ si $n$ est pair et $u_n=\frac{n+1}{n}$ si $n$ est impair.
etc etc

Toutes ces questions ont des réponses quasi-immédiates et qui tiennent en une ligne, {\bf mais elles semblent beaucoup plus difficiles pour les élèves}. Moi je trouve qu'ils sont habitués en DS et DM à avoir des exos compliqués et qui explorent parfois les bords du programme. Du coup, je me concentre vraiment en colle sur des questions "stupides". Des étudiants qui savent parfaitement le cours sur les matrices symétriques définies positives, et qui savent faire les démonstrations associées (caractérisation, théorème de réduction,etc) sont bien souvent totalement désarmés devant une question comme : Est-ce que $M=\begin{pmatrix} 123 +\sqrt{2} & \ln(4)/7 \\
\ln(4)/7 & 125 \end{pmatrix}$ est définie positive?
En fait, je trouve que c'est le genre de choses qu'on considère comme évident à tort.

Cordialement.

deufeufeu

Il me semble que l'important en spé est d'amener aux concours. Des exercices de trois niveaux CCP, Centrales/Mines et X/Ens permettent de faire des colles graduelles.

Ben

Et j'ajouterai que dans la première partie de l'année, on peut ajouter une ou deux questions intermédiaires pour les élèves moyens aux exos dont l'énoncé serait beaucoup plus "sec" à un oral, histoire d'être un peu progressif. Et les questions de skyrmion peuvent remplacer la traditionnelle "question de cours" (encore qu'apprendre à refaire une démo ne peut pas faire de mal).

Schneider

Si tu veux, j'ai des pdf avec beaucoup d'exos. Je peux te les fournir. Autrement je te conseille de t'abonner à la RMS ou de n'acheter que les tomes 4 de chaque année là où il y a les exos corrigés.

clemclem

J'ai pour l'instant récupéré pas mal d'exercices de différentes sources : RMS, Crus d'oraux des années 80-90, Exercices de Gonnord, Dékhollez de Monier ... mais je suis preneur d'autres sources bien sûr.

Merci encore.