Divisibilité

Bonjour,

Je cherche la solution à cette exercice :

Pour quelles valeurs d'entiers naturels m et n, a-t- on : [ (2n) ! (2m) ! ] / [ m! n! (m+n) ! ] entier ?


J'ai essayé de faire intervenir des produits de coefficients du binôme de Newton, mais je n'y suis pas parvenu.
J'ai aussi essayé de montrer par récurrence sur m et n que le quotient est toujours entier , mais je n'ai pas abouti.
Pour moi, ce quotient est toujours entier, mais je n'arrive pas çà le démontrer.

Si vous avez des pistes, merci d'avance

Réponses

  • Bonjour,

    La seule formule que je trouve est $\dfrac{ \binom {2n}{n} \binom {2m}{m} } { \binom {m+n}{n} } $
    Il faut vraiment que je me mette à LaTeX, ce n'est vraiment pas parfait
    Je ne crois pas que ça avance beaucoup.

    Mon tableur préféré qui fait du calcul exacte LibreOffice avec Xcas intégré me donne des résultats bizarres. Je ne suis pas sûr que ce soit juste. Les cases en rouge correspondent à des valeurs non entières. Documents joints, pdf et ods mais il faut ajouter l'extension CmathOOoCas pour lire le deuxième.

    Comment, on ne peut pas joindre des documents au format libre Oasis sur ce site ? C'est une honte !
  • Bonjour,

    Regardez
    >> [size=large]ici[/size]
  • Bonsoir,

    Merci Cidrolin :)

    La solution est astucieuse.

    Quid de la valuation p-adique et de la formule de Legendre ?
  • Bonjour,

    Pour prolonger, que vaut :
    $$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^m \dfrac{m!\,(2n+2i)!\,(2p+2m-2i)!}{i!\,(m-i)!\,(n+i)!\,(p+m-i)!\,(n+m+p)!}$$

    où $m\leq n$ et $m\leq p$ ?
  • Hum, je ne vois pas trop le lien avec la question précédente.
    y-a-t-il un lien ?
    J'ai envie d'utiliser la formule du Binôme de Newton et de faire un changement de variable, est-ce correct ?

    Cordialement
  • Si on pose $u(n,p)=\dfrac{(2n)!\,(2p)!}{n!p!(n+p)!}$ alors on a $u(n+1,p)+u(n,p+1)=4\,u(n,p)$, donc

    $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^m C_m^i\,u(n+i,p+m-i)=4^m \,u(n,p)$, ou encore:

    $$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^m \dfrac{m!\,(2n+2i)!\,(2p+2m-2i)!}{i!\,(m-i)!\,(n+i)!\,(p+m-i)!\,(n+m+p)!}=4^m \dfrac{(2n)!\,(2p)!}{n!p!(n+p)!}$$

    Un tableau des $u(n,p)$ est:
    24126
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