Théorème_fm
Réponses
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Hello,
Peux tu commencer par dire ce que tu as essayé de faire pour commencer?
Eric -
Bonjour,
une preuve synthétique se base sur l'alignement de M, I et O...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour Jean Louis,
Certes, mais en l'absence de réponse à la question "qu'as tu fait" on peut émettre diverses hypothèses :
- fm31 n'a rien fait et n'ose pas le dire
- fm31 avait lancé ce problème "comme ça" mais finalement ne s'y intéresse plus
- variante : fm31 est occupé par ailleurs. Attendre qu'il se remanifeste
- fm31 a "arrosé" divers forums et réseaux sociaux avec son problème dans le seul espoir d'obtenir une solution toute rédigée qu'il n'aurait plus qu'à recopier. Il a eu cette solution et ne s'intéresse plus à les-mathematiques.net
- etc ...
Sinon, oui une solution peut utiliser le résultat que dans tout triangle (pas forcément rectangle) O,I,M sont alignés, en appelant O le milieu de BC (et pas le centre du cercle circonscrit si ABC n'est pas rectangle)
Tout ce qu'il faut pour le démontrer dans la figure ci dessous. Faut juste chercher un peu. -
.
-
Bonjour ,
non , je n'ai pas abandonné mais je patine . J'ai bien vu que les 2 démonstrations (EMF alignés et OIM alignés) étaient liées mais je n'avance ni sur l'une ni sur l'autre .
Malheureusement pour moi , mon niveau en math ne me permet pas de suivre les démonstrations données . Je continues donc à chercher , mais sans succès pour le moment ,une approche plus abordable .
Merci pour les solutions proposées que je vais regarder de plus près en espérant arriver à en comprendre le mécanisme .
Cordialement à tous
Fernand Marsal -
Mais :
Tu n'as pas indiqué ton niveau non plus...
Divisions harmoniques et faisceaux harmonique ? ça te dis quelque chose ou pas ?
Théorème de Menelaus ? Coordonnées barycentriques ?
1) La division $(A,D,I,J)$ est harmonique. Si on ne s'en souvient plus, cela vient de ce que le faisceau $(BA,BC,BI,BJ)$ formé de deux droites et de leurs bissectices est un faisceau harmonique, et détermine sur toute sécante (par exemple la droite $AIDJ$) une division harmonique.
Si on ne s'en souvient plus, de cette propriété des bisectrices, dans le triangle BAD on a $ | IA/ID | = JA/JD = BA/BD$ (propriété classique des bissectrices, vue dans les "petites classes" à grand renfort de Thalès).
On peut alors projeter de diverses façons cette division harmonique pour aboutir à :
la division formée par les points $(A_1, K, I, \infty)$ est harmonique, en d'autres termes I est le milieu de $A_1 K$
Je te laisse conclure en deux lignes que cela entraine ("droites des milieux") que la droite $OI$ coupe $A_1A$ en son milieu. En d'autres termes que O, I et M sont alignés.
2) autre méthode qui devrait aboutir mais c'est bien plus pénible :
Calculer les divers segments (et surtout leur rapports) : $(MA/MA1).(OA1/OD).(ID/IA)$ pour conclure, par le théorème de Menelaus sur le triangle $A A_1 D$, que les points O, I M sont alignés
Devant la simplicité de la 1ère méthode j'ai pas eu envie...
3) autre méthode :
Calculs "comme Pierre" (= en coordonnées barycentriques)
Sans chercher à compliquer avec des intersections de cercles pour montrer directement la propriéte finale demandée, on peut se limiter à des expressions simples pour prouver que M,O,I sont alignés.
Bien entendu les spécialistes connaissent par coeur les coordonnées barycentriques de I, du milieu de BC (facile celui là !!!) et du milieu (facile) de $AA_1$ (pas trop dur si on se souvient de la valeur de $BA_1$)
Bref ces calculs devraient aboutir aussi...
Une fois prouvé l'alignement de M, I, O, cela devrait couler de source puisque tu as déja fait le lien entre cet alignement de M,I,O et celui de E,M,F.
Allez un peu de courage. Tu choisis une des méthodes que je te propose, ou une autre, selon ton niveau de connaissances. -
Bonjour
et un grand merci à chephip pour ce complément d'information qui me permet d'y voir bien plus clair . Avec cela , je vais arriver au bout de ma démonstration . Je vais me pencher aussi sur les coordonnées barycentriques pour le plaisir d'un retraité qui a toujours été attiré par la géométrie et depuis quelque temps par ce point M qui m'intrigue un peu .
Cordialement -
Bonjour,fm31 a écrit:pour le plaisir d'un retraité
Désolé pour la mécompréhension de la façon dont tu as présenté le problème, du genre "faites moi mon exercice"...
Quoique,.. la remarque générale (indiquer le niveau et ce qu'on a fait) est tout de même applicable.
Au passage la propriété peut aussi s'appliquer au cercle exinscrit (même démonstration)
On montre aussi facilement que le point d'intersection avec le cercle inscrit (ton point F)
est sur la droite AY (joignant A au point de contact du cercle exinscrit) et que réciproquement,
le point F' correspondant pour le cercle exinscrit est sur la droite AX (ta droite AA1) -
Bonjour et merci pour cette généralisation .
Entre temps je me suis lancé dans une démonstration purement algébrique un peu longue mais pas compliquée .
Cordialement
-
Bonjour,
Le principal est d'avoir fait ces calculs jusqu'au bout...
Je n'en aurais pas eu le courage, et noirci plusieurs feuilles d'erreurs de calcul et de recopies erronées.
Mais pourrais tu faire ces mêmes calculs dans le cas d'un triangle quelconque.
Pour généraliser le problème (EFM alignés), en remplaçant bien entendu le cercle circonscrit par celui de centre O,
milieu de BC et passant par A ??
<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/"
width="800" height="500" mayscript="true">
<param name="ggbBase64" value="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<param name="showAlgebraInput" value="false" />
<param name="useBrowserForJS" value="false" />
<param name="allowRescaling" value="false" />
C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
</applet>
Avantage du raisonnement "synthétique".
Le raisonnement synthétique complet : (j'ai rebaptisé A1 en X pour éviter des indices)
On rajoute les points J centre du cercle exinscrit et Y point de contact avec BC
D intersection de AI et BC
K est défini comme intersection de la droite IX et de la droite AY
Pour l'instant on ne sait pas que ce point est sur le cercle inscrit.
On se rappelle que la division (A,D,I,J) est harmonique, et que O est le milieu de XY
(résultats classiques et "connus" : pieds des bissectrices BI et BJ du triangle ABD, BX = CY = p - b avec les notations usuelles p demi périmètre et b = AC)
La division (A,D,I,J) se projette orthogonalement sur BC en (H,D,X,Y) qui est donc harmonique
Le faisceau A(H,D,X,Y) est donc harmonique et son intersection avec la parallèle au rayon AH, à savoir la droite XI, aussi
Ce qui prouve que AD (=la bisectrice AI) coupe la perpendiculaire XK en son milieu.
Donc I est le milieu de XK.
Dans le triangle XKY la droite "des milieux" OI est donc parallèle à AY
Par conséquent dans le triangle AXY cette droite OI coupe AX en son milieu M (CQFD pour l'alignement de MOI)
On pourait tenir le même raisonnement avec le cercle exinscrit pour prouver l'alignement de NOJ
On peut aussi déduire du faisceau O(A,D,I,J) et OI coupant AX en son milieu que OJ est parallèle à AX
Et donc dans le triangle AXY cette droite coupe AY en son milieu N.
Les "seconds" points d'intersection de cercles sont symétriques de ceux connus par rapport à la droite des centres.
E est symétrique de A par rapport à MO
F est symétrique de X par rapport à MI
donc EF est symétrique de AX par rapport à la droite MOI, et est donc un diamètre de (M)
CQFD pour l'alignement de EFM
On remarque quelques "coincidences"
K est sur le cercle inscrit puisque IK = IX
F est sur AY puisque dans le cercle (M) AF est parallèle à MOI, de même F' est sur AX
Les cercles (M) et (N) se coupent sur BC, en le point H pied de la hauteur sur BC (évident : diamètre, angle droit...)
Ssi le centre du cercle circonscrit est en O, c'est à dire ssi ABC est rectangle en A, on retrouve le problème d'origine.
Cordialement. -
Bonjour ,
cette démonstration remarquable par sa simplicité et sa généralité me laisse interloqué sur la puissance des faisceaux harmoniques que je découvre .
A côté , mes petits calculs (sans erreur je pense) ne sont qu'un exercice d'algèbre sans aucune prétention ni portée générale .
Encore merci pour la présentation pédagogique de votre exposé et surtout d'avoir étendu l'exercice dans toute sa généralité .
Cordialement -
Bonjour,
Voilà ma figure et le fichier Matlab résolvant la généralisation.
Il utilise Morley avec le cercle inscrit et est un fichier texte abondamment commenté. -
Bonjour ,
je n'ai pas trouvé le fichier texte annoncé .
Cordialement -
Bonjour,
Le fichier texte est le fichier fm_02.m qu'il faut donc extraire du zip et ouvrir "aux forceps" avec un éditeur de texte pour en voir le contenu.
C'est en fait un fichier Matlab, compréhensible que par Matlab et ceux qui connaissent intimement Matlab.
Le problème de tous ces calculs est qu'ils ne sont dans la pratique réalisables que avec un logiciel de calcul formel.
(car trop compliqués "humainement")
Par exemple j'adore l'expression de L qui occupe [size=large]472[/size] caractères à elle seule !!
soit environ 6 lignes de texte "normal" rien que pour une seule expression !
Cordialement -
Bonjour,
Le $G$ sur la figure est de trop.Chechip a écrit:Le fichier texte est le fichier fm_02.m qu'il faut donc extraire du zip et ouvrir "aux forceps" avec un éditeur de texte pour en voir le contenu.Chechip a écrit:compréhensible que par Matlab et ceux qui connaissent intimement Matlab.Chechip a écrit:Par exemple j'adore l'expression de L qui occupe 472 caractères à elle seule !!
soit environ 6 lignes de texte "normal" rien que pour une seule expression !
Je peux même te la recopier en Latex si tu veux.
Ceci dit, l'essentiel est que la méthode soit claire, Si elle ne l'est pas, je peux donner toutes les explications que tu voudras.
Ensuite, je ne cois pas que mon fichier Matlab soit spécifique de Matlab, il est suffisamment explicite et commenté pour être compréhensible et traduisible dans n'importe quel autre logiciel de calcul formel.
Enfin, les logiciels de calcul formel existent, et je ne vois pas de raison objective (nostalgique peut-être) de pas utiliser leur efficacité.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour ,
en effet j'ai ouvert le fichier Mathlab avec le bloc note mais je ne me sens pas le courage d'y rentrer dedans . Je reste avec l'élégante solution par les faisceaux harmoniques .
Cordialement -
Bonjour,fm_31 a écrit:en effet j'ai ouvert le fichier Mathlab avec le bloc note mais je ne me sens pas le courage d'y rentrer dedans .
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir,
à Rescassol :
"Je ne vois pas pourquoi il faudrait des "forceps" pour ouvrir un banal "*.zip""
Je ne parlais pas du fichier zip mais du *.m contenu dedans dont mon Windows ne sait que faire
Il faut donc bien forcer l'utilisation d'un éditeur de texte pour ouvrir ce fichier *.m (pas le .zip) pour quiconque n'a pas installé Mathlab. Sinon après une demi douzaines de fenêtres d'avertisement "que voulez vous donc faire avec ce fichier".
Formules "à rallonges" :
$L = b1^3 e - 2 b1^3 c1 - 2 b1 c1^3 + c1^3 e - 2 a1^2 b1^2 - 2 a1^2 c1^2 + a1^2 b1^3 eB + a1^2 c1^3 eB - 4 a1 b1 c1^2 - 4 a1 b1^2 c1 + 2 a1 b1^2 e + 2 a1 c1^2 e + 3 b1 c1^2 e + 3 b1^2 c1 e + 2 a1 b1 c1^3 eB + 2 a1 b1^3 c1 eB - a1 b1^3 e eB - a1 c1^3 e eB - b1 c1^3 e eB - b1^3 c1 e eB + 4 a1 b1^2 c1^2 eB + 3 a1^2 b1 c1^2 eB + 3 a1^2 b1^2 c1 eB - a1^2 b1^2 e eB - a1^2 c1^2 e eB - 2 b1^2 c1^2 e eB + 4 a1 b1 c1 e - 3 a1 b1 c1^2 e eB - 3 a1 b1^2 c1 e eB - 2 a1^2 b1 c1 e eB$
Ca rentre même pas dans l'aperçu du Phorum, on verra bien à la publication...
Edit : ben non pas mieux. Il faut découper cette formule en plusieurs lignes :
$L = b1^3 e - 2 b1^3 c1 - 2 b1 c1^3 + c1^3 e - 2 a1^2 b1^2 - 2 a1^2 c1^2 + a1^2 b1^3 eB + a1^2 c1^3 eB - 4 a1 b1 c1^2 - 4 a1 b1^2 c1 + 2 a1 b1^2 e$
$ + 2 a1 c1^2 e + 3 b1 c1^2 e + 3 b1^2 c1 e + 2 a1 b1 c1^3 eB + 2 a1 b1^3 c1 eB - a1 b1^3 e eB - a1 c1^3 e eB - b1 c1^3 e eB - b1^3 c1 e eB$
$ + 4 a1 b1^2 c1^2 eB + 3 a1^2 b1 c1^2 eB + 3 a1^2 b1^2 c1 eB - a1^2 b1^2 e eB - a1^2 c1^2 e eB - 2 b1^2 c1^2 e eB + 4 a1 b1 c1 e$
$ - 3 a1 b1 c1^2 e eB - 3 a1 b1^2 c1 e eB - 2 a1^2 b1 c1 e eB$
Sinon tes commentaires sont très clairs, pour quiconque connait bien les méthodes utilisées
(truc de Morley, affixes et expressions "classiques" correspondantes etc...)
Par exemple
[c cB] = IntersectionDeuxDroites(a1B,a1,-2,b1B,b1,-2);
n'est pas immédiatement compréhensible par le profane... Il faut donc être "Initié"... pour traduire "la droite tangente en A1 au cercle unité" en ce "a1B,a1,-2"
Cordialement. -
.
-
Bonjour chephip.
Je propose :
\begin{align*}
L = &b1^3 e - 2 b1^3 c1 - 2 b1 c1^3 + c1^3 e - 2 a1^2 b1^2 - 2 a1^2 c1^2 + a1^2 b1^3 eB + a1^2 c1^3 eB - 4 a1 b1 c1^2 - 4 a1 b1^2 c1 + 2 a1 b1^2 e\\
& + 2 a1 c1^2 e + 3 b1 c1^2 e + 3 b1^2 c1 e + 2 a1 b1 c1^3 eB + 2 a1 b1^3 c1 eB - a1 b1^3 e eB - a1 c1^3 e eB - b1 c1^3 e eB - b1^3 c1 e eB\\
& + 4 a1 b1^2 c1^2 eB + 3 a1^2 b1 c1^2 eB + 3 a1^2 b1^2 c1 eB - a1^2 b1^2 e eB - a1^2 c1^2 e eB - 2 b1^2 c1^2 e eB + 4 a1 b1 c1 e\\
& - 3 a1 b1 c1^2 e eB - 3 a1 b1^2 c1 e eB - 2 a1^2 b1 c1 e eB
\end{align*}
amicalement,
e.v.
À supprimer par un GM ?Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour,
Je n'ai jamais prétendu qu'il ne fallait pas faire de calculs, ni qu'il ne fallait pas utiliser les moyens à sa disposition pour les faire (perso j'utilise fréquemment Maxima) mais que passer par une expression algébrique bien compliquée de 4 lignes pour prouver après de nombreuses étapes du même tabac que le symétrique d'un diamètre (AA1) par rapport à un diamètre (IOM) est un diamètre (EF), j'appelle ça un marteau pilon pour écraser les mouches.
La première partie de preuve calculatoire de l'alignement de I,O,M est par contre parfaitement légitime.
Enfin au niveau "élémentaire" (où l'on "découvre" même les divisions harmoniques) ces calculs sont il faut l'avouer et je persiste dans cette opinion parfaitement ésotériques.
C'est perpétuellement l'opposition entre l'Initié (celui qui sait, qui fait des calculs du même genre régulièrement depuis des années) et celui qui découvre ce genre de méthode, il y a un fossé, voire un gouffre.
Cordialement. -
Bonjour,
Puisque tu insistes, ev, voilà:
\begin{align*}
L = &b_1^3 e - 2 b_1^3 c_1 - 2 b_1 c_1^3 + c_1^3 e - 2 a_1^2 b_1^2 - 2 a_1^2 c_1^2 + a_1^2 b_1^3 \overline{e} + a_1^2 c_1^3 \overline{e} - 4 a_1 b_1 c_1^2 - 4 a_1 b_1^2 c_1 + 2 a_1 b_1^2 e\\
& + 2 a_1 c_1^2 e + 3 b_1 c_1^2 e + 3 b_1^2 c_1 e + 2 a_1 b_1 c_1^3 \overline{e} + 2 a_1 b_1^3 c_1 \overline{e} - a_1 b_1^3 e \overline{e} - a_1 c_1^3 e \overline{e} - b_1 c_1^3 e \overline{e} - b_1^3 c_1 e \overline{e}\\
& + 4 a_1 b_1^2 c_1^2 \overline{e} + 3 a_1^2 b_1 c_1^2 \overline{e} + 3 a_1^2 b_1^2 c_1 \overline{e} - a_1^2 b_1^2 e \overline{e} - a_1^2 c_1^2 e \overline{e} - 2 b_1^2 c_1^2 e \overline{e} + 4 a_1 b_1 c_1 e\\
& - 3 a_1 b_1 c_1^2 e \overline{e} - 3 a_1 b_1^2 c_1 e \overline{e} - 2 a_1^2 b_1 c_1 e \overline{e}
\end{align*}
Cordialement,
Rescassol -
Il n'y a pas un forum "LaTeX" quelque part par ici ?
Cordialement. -
.
-
Bonsoir,
D'accord Pierre, voilà le script Matlab qui donne maintenant le bon résultat à la fin, c'est à dire un NulFinal de 0.
Cordialement,
Rescassol
-
pldx1 écrivait:
>
......
>
> Partons de la situation réelle, nous sommes en
> train d'utiliser des ordinateurs en réseau pour
> échanger nos points de vue. Et alors, chacun des
> participants à cet échange dispose des moyens de
> faire tourner un logiciel de calcul formel. Ceux
> qui ne veulent pas, ne le veulent pas, chacun fait
> ce qu'il veut. Mais pour ce qui est de pouvoir,
> chacun peut largement le faire.
>
......
> Cordialement, Pierre.
Bonjour ,
je ne me prononcerait pas sur le calcul formel que je ne connais que de nom . Mais qu'en est-il de logiciels comme geogebra . Voila un outil puissant , utilisable dès le collège et très intuitif . Cependant quand geogebra me dit que 2 droites sont orthogonales ou que 2 segments sont égaux , peut-on considérer ces résultats comme démontrés ? Y a t'il une différence avec les logiciels de calcul formel ?
Merci pour tout éclaircissement sur ce point .
Cordialement -
Bonjour,
Dans Géogébra 4.0.38.0, les droites
$(D_1)$ : $y=x+1$ et
$(D_2)$ : $y = 1.0000000000001x + 2$
sont considérées comme parallèles, alors que ce n'est pas le cas avec un $0$ de moins.
Par contre, il existe un module formel nommé CAS que je n'ai pas testé.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour ,
J'ai effectivement vérifié l'influence du nombre de décimales . Mais ma question reste entière : si un module formel existait sous geogebra et que dans une figure 2 droites soient trouvées comme étant orthogonales , serais-je en droit de considérer le résultat comme :
- acquis
- acquis et démontré (par la machine)
- acquis mais à démontrer
Merci pour vos éclaircissements
Cordialement -
Personnellement, je ne dirais pas que c'est acquis mais au moins je saurais que je ne perds pas mon temps pas mon temps à chercher une démonstration!
Je suis loin d'être un spécialiste mais je crois que pour affirmer une propriété, le logiciel vérifie sa permanence par de (petites?) déformations de la figure.
Amicalement
Pappus -
Bonjour,
Le module de calcul formel CAS est présent uniquement dans la version 4.2 de GéoGébra dont la version (beta) la plus récente est la 4.1.130.0 du 11 Août 2012, gratuite comme d'habitude, et que tu peux donc télécharger et essayer, fm_31.
Je l'ai fait et ai testé le même exemple que ci dessus, (en demandant le nombre maximum de décimales: 15). Le résultat en numérique est le même. Par contre en formel, je peux ajouter autant de $0$ que je veux, CAS ne trouve pas mes droites parallèles et me calcule leur point d'intersection correctement, après avoir transformé mes décimaux en rationnels.
J'aurai donc tendance à dire que le résultat est acquis et démontré (par la machine).
Bien sûr, il faudrait plus de tests.
Et il faudrait voir avec des $\sqrt{3}$ et autres sur lesquels Matlab a souvent du mal.
Cordialement,
Rescassol -
Rescassol écrivait:
> J'aurai donc tendance à dire que le résultat est
> acquis et démontré (par la machine).
Bonjour ,
philosophiquement , y aurait-il des différences entre démontré "par la machine" et démontré par le raisonnement "humain" . J'ai tendance à considérer que geogebra (ou autre) me montre des résultats mais que ceux-ci restent à démontrer . Est-ce un manque de confiance dans la machine ?
Cordialement -
.
-
Bonjour ,
je pense que ma demande n'était pas clairement exprimée . Pour reprendre l'exercice initial , geogebra me montre que les points O , I et M sont alignés . Cela vaut-il démonstration ?
Cordialement , Fernand -
Geogebra fait-il une démonstration ? Ses tracés sont-ils exacts ?
Si la réponse est non, tu as ta réponse.
Cordialement.
NB : Je croyais que cette question était réglée dans les messages précédents. -
gerard0 écrivait:
> NB : Je croyais que cette question était réglée
> dans les messages précédents.
Bonjour ,
moi aussi mais j'ai des réponses qui me paraissent contradictoires . Si on utilise le module de calcul formel , on peut considérer les tracés comme exacts . Ont-ils alors valeur de démonstration ? J'ai toujours un doute .
Cordialement -
Ah non,
on ne peut jamais considérer les tracés comme exacts : Un pixel, ou un point fait au crayon a une certaine largeur, donc une imprécision.
Par contre, un calcul formel, bien vérifié par un utilisateur averti, peut être considéré comme une preuve, de la même façon qu'on fait confiance à une calculette pour un calcul exact qu'elle peut faire. Mais l'utilisation du calcul formel a ses idiosyncrasies, il faut bien s'y connaître pour éviter les calculs "faux".
Cordialement. -
Bonjour
et merci à tous pour toutes ces précisions .
Cordialement
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Bonjour!
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