Exercice de 5e.

skyrmion

Bonjour,

Voici un petit exercice marrant qu'un collègue à trouvé dans un bouquin de 5e (et n'a pas réussi à faire, je plaisante!).
Soit $T, O$ et $M$ trois points non alignés du plan. Où placer {\bf le} point $I$ tel que les triangles $TOI$ et $MOI$ aient le même périmètre?

PS : Pour la question de l'unicité, les 5e sont juste censés trouver un point $I$ en faisant par exemple un parallélogramme, on ne leur demande pas le lieu des points!

chephip

Bonjour,

Il est vrai que même au niveau absolument élémentaire on trouve déja trois points I possibles !
I1 (celui que tu cites), I2 tout aussi "évident", et I3

emmanuelle2

Bonjour,

La condition d'isopérimètre s'écrit
TO + TI + IO = IO + IM + MO

D'où:

IT - IM = MO - TO = Constante

Le lieu des points I est donc bien une hyperbole de foyers T et M comme nous le suggère chephip.

Sylvain

Décidément les hyperboles ont la cote aujourd'hui.

chephip

D'un autre côté comme le soulignait déja Skyrmion :
"on ne leur demande pas le lieu des points"
parce que les hyperboles en 5ème...

Les 3 solutions indiquées (surtout I1 et I2) sont du niveau. (triangles "égaux", parallélogramme, symétrie)
La solution I3 est un peu plus dure à trouver, mais sa vérification est juste de la somme et différences de longueurs.

Je pense que ce sont les seules solutions possibles en 5ème !!

Hors sujet :
On peut aussi chercher la solution intéressante I4 qui rend les périmètres des trois triangles TOI, MOI et TIM égaux.