Fonction dfe par une intégrale (dérivabilité)

CQFD

Bonjour à tous

Je suis en train d'étudier la fonction $\Psi$ définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par : $\Psi(x)=\displaystyle\int_{]0,+\infty[}\exp\left(-\left(\dfrac{x^{2}}{t^{2}}+t^{2}\right)\right)d t$
J'ai réussi à montrer que $\Psi$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}$ et dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ en utilisant les théorèmes classiques de domination.

Je m'interroge sur la dérivabilité en 0.
Pour le moment, je ne parviens pas à prouver la dérivabilité avec des hypothèses de domination (ou du moins je n'ai pas trouvé de fonction dominante qui conviendrait pour conclure).
J'aurais donc besoin d'aide pour savoir si cette fonction est dérivable et si oui, comment le prouver.

Merci d'avance

john_john

Histoire de rappeler une bonne vieille astuce des familles :

$\Psi(x)=\displaystyle\int_{]0,+\infty[}\exp\left(-\left(\dfrac{x^{2}}{t^{2}}+t^{2}\right)\right)d t=\exp(-2x)\cdot\displaystyle\int_{]0,+\infty[}\exp\left(-\left(\dfrac{x^{}}{t^{}}-t\right)^2\right)d t$
suivi d'un petit changement de variable...

Cordialement, j__j

Miskha

tu peux aussi simplement utiliser le théorème de la limite de la dérivée

CQFD

john_john :
j'ai calculé $\Psi(x)$ par deux méthodes, la première étant celle que tu donnes.
Pour la deuxième méthode, j'ai cherché à étudier la fonction $\Psi$. Là, j'aboutis à l'ED $\Psi'=2\Psi$ ce qui permet d'aboutir facilement à l'expression de $\Psi(x)$.
Or, justement, mon objectif est d'étudier "à la main" (ie avec les "gros" théorèmes d'intégration) la dérivabilité en 0 de $ \Psi$ avec son expression de départ.

Mishka :
"théorème de la limite de la dérivée" ? dois je comprendre le taux d'accroisement de la fonction $f$ ?
Je vais regarder ça...

john_john

CQFD : l'ED serait plutôt $y'=-2y$ (la fonction est manifestement positive décroissante). Cela étant, quand j'aurai cinq minutes, je regarderai comment étudier directement la dérivabilité en $0$.

Ce que Mishka te propose est de mq $\Psi'$ admet une limite en $0$ !

Cordialement, j__j

john_john

Sauf erreur de calcul de ma part, si $g(x,t)$ désigne la dérivée partielle de l'intégrande par rapport à $x$, alors $t\mapsto g(t,t)$ n'est pas intégrable. De ce fait, {\em a fortiori}, le thm de cv dominée ne peut s'appliquer pour la dérivation.

Alors que fait-on dans ce cas ? On se débrouille autrement (par exemple grâce à ton ED et à l'idée de Mishka, ou grâce au chgt de variable {\em supra}).

CQFD

Pardon, j'avais oublié le signe moins.

Quelque chose me chiffonne sur le fait de regarder la limite de $\Psi'(x)$ quand $x\to 0$.
En effet, si je pars de l'ED vérifiée par $\Psi$ (et valable pour tout $x>0$), alors, en passant à la limite quand $x\to 0$, j'obtiens alors que $\Psi'(x)\to -2\Psi(0)=-\sqrt{\pi}$.
Puis je en conclure pour autant que $\Psi'$ est continue en $0$ donc que $\Psi$ est dérivable en $0$ ?
En remplaçant $x$ par $0$ dans l'expression de $\Psi'(x)$, j'obtiens $0$.... C'est peut-être ce point qui n'est pas correct.
Bref, il y a qq chose qui m'échappe.

Miskha

peux-tu écrire l'expression de la dérivée stp ?

john_john

"Puis je en conclure pour autant que $\Psi'$ est continue en $0$ donc que $\Psi$ est dérivable en $0$ ? "

Non, puisque, pour l'instant, la dérivabilité en $0$ n'est pas établie ; si tu as mq $\Psi$ est C$^1$ sur $\R^{+*}$, tu en déduis maintenant que $\Psi$ est C$^1$ sur $\R^+$ et que $\Psi'(0)=...$



"En remplaçant $x$ par $0$ dans l'expression de $\Psi'(x)$, j'obtiens $0$.... C'est peut-être ce point qui n'est pas correct."

Là aussi, il est interdit de remplacer $x$ par $0$ puisque le thm de dérivation ne s'applique pas.

bisam

Si tu sais que $\Psi$ est continue sur $\R^+$, dérivable sur $\R^+_*$ et que $\Psi'$ possède une limite réelle $L$ en 0 alors le "théorème de dérivation d'un prolongement continu" affirme que $\Psi$ est dérivable en 0 et que $\Psi'(0)=L$.

CQFD

Pourriez vous me dire si mon raisonnement est correct ?
Merci

Considérons les fonctions $\psi:\R_{+}^{*}\times\R_{+}\longrightarrow\R$ et $\Psi:\R_{+}\longrightarrow\R$ définies par :
\begin{center}
$\psi(s,t)=\exp\left(-\left(\dfrac{t^{2}}{s^{2}}+s^{2}\right)\right)\quad$ et $\quad\Psi(t)=\displaystyle\int_{\R_{+}^{*}}\psi(s,t)d s$
\end{center}
Pour tout $s\in\R_{+}^{*}$, la fonction $t\longmapsto\psi(s,t)$ est continue sur $\R_{+}$.
De plus, pour tout $t\in\R_{+}$, on a :
\begin{center}
$|\psi(s,t)|\le e^{-s^{2}}$
\end{center}
La fonction majorante étant intégrable sur $\R_{+}^{*}$, on en déduit que $\Psi$ est continue sur $\R_{+}$.
De plus, pour tout $s\in\R_{+}^{*}$, la fonction $t\longmapsto\psi(x,t)$ est dérivable sur $\R_{+}$ et :
\begin{center}
$\dfrac{\partial\psi}{\partial t}(x,t)=-\dfrac{2t}{s^{2}}\exp\left(-\left(\dfrac{t^{2}}{s^{2}}+s^{2}\right)\right)$
\end{center}
Pour $t>0$ fixé, la fonction $s\longmapsto\dfrac{t}{s^{2}}\exp\left(-\dfrac{t^{2}}{s^{2}}\right)$ admet un maximum pour $s=t$.
Soit $\alpha>0$. Pour tout $t\ge\alpha$, on a :
\begin{center}
$\left|\dfrac{\partial\psi}{\partial t}(x,t)\right|=\left|\dfrac{2t}{s^{2}}\exp\left(-\dfrac{t^{2}}{s^{2}}\right)e^{-s^{2}}\right|\le\dfrac{2}{t}e^{-1-s^{2}}\le\dfrac{2}{\alpha}e^{-1-s^{2}}$
\end{center}
La fonction majorante étant intégrable sur $\R_{+}^{*}$, on en déduit que $\Psi$ est dérivable sur $\R_{+}^{*}$ et :
\begin{center}
$\forall t\in\R_{+}^{*},\quad\Psi'(t)=\displaystyle\int_{\R_{+}^{*}}\dfrac{\partial\psi}{\partial t}(s,t)d s=-2t\int_{\R_{+}^{*}}\dfrac{1}{s^{2}}\exp\left(-\left(\dfrac{t^{2}}{s^{2}}+s^{2}\right)\right)d s$
\end{center}
Effectuons le changement de variable :
\begin{center}
$u=\dfrac{t}{s}\Longleftrightarrow s=\dfrac{t}{u}$
\end{center}
Il vient :
\begin{center}
$\Psi'(t)=-2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\exp\left(-\left(u^{2}+\dfrac{t^{2}}{u^{2}}\right)\right)d u=-2\Psi(t)$
\end{center}
On en déduit, par continuité de $\Psi$ en $0$, que :
\begin{center}
$\lim\limits_{t\to 0}\Psi'(t)=-2\Psi(0)=-2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-s^{2}}d s=-\sqrt{\pi}$
\end{center}
La fonction $\Psi$ est donc dérivable en $0$.
Ainsi :
\begin{center}
$\forall t\in\R_{+},\quad\dfrac{d}{d t}\left(e^{2t}\Psi(t)\right)=0$
\end{center}
La fonction $t\longmapsto e^{2t}\Psi(t)$ est constante sur $\R_{+}$.
Pour tout $t\in\R_{+}$, on a :
\begin{center}
$\Psi(t)=\Psi(0)e^{-2t}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2t}$
\end{center}

john_john

Oui, c'est bon, sauf en ce qui concerne quelques collisions de notation puisque tu as changé le nom des variables mais que l'on retrouve encore des $x$ de mauvais aloi.

CQFD

En effet, il y a des petites coquilles.

Cependant, tout n'est pas encore très clair pour moi.
En fait, c'est l'égalité $\Psi'(t)=-2\Psi(t)$ qui me trouble.
$\Psi$ étant continue sur $\R_{+}$, on en déduit donc qu'il en est de même de $\Psi'$, non ? (quitte à prolonger par continuité)
Je sens que quelque chose ne va pas dans ma façon d'aborder les choses mais je ne parviens pas à l'identifier clairement.

Miskha

oui c'est correct, la continuité de $\psi$ implique celle de sa dérivée. c'est un fait général dans les EDO , on impose juste la dérivabilité, et on a automatiquement le caractère C1 .
Il n'y a pas de problème
et bien sur après avoir trouvé l'expression simplifiée de $\psi$ , tu déduis même qu'elle est C infini , voire analytique etc etc

CQFD

Dans ce cas, si je donne à $x$ la valeur $0$ dans l'intégrale définissant $\Psi'$, j'obtiens $0$.
Il y a donc un problème.
Où est-il ?
Ne serais je pas autorisé à ne pas remplacer $x$ par 0 ? Pourquoi dans ce cas ?
C'est là que je bute depuis le début en fait.

CQFD

Je voulais écrire $t$ et non $x$ dans mon message précédent.

john_john

La fonction $\Psi$ est bien de classe $1$ sur $\R^+$ mais c'est l'égalité de la dérivée avec l'intégrale de la dérivée partielle qui n'est vraie que pour $x>0$ (ou $t>0$ selon les notations). Enfin, dans $\displaystyle2t\int_{\R_{+}^{*}}\dfrac{1}{s^{2}}\exp\left(-\left(\dfrac{t^{2}}{s^{2}}+s^{2}\right)\right)d s$, la limite quand $t\to0$ est de la forme $0\times\infty$.

Miskha

oui c'est ce que je voulais dire . tu ne peux pas remplacer , l'intégrale diverge en zéro , c'est une forme indéterminée comme l'a expliqué John.

CQFD

Je pensais (à tort) que l'on pouvait considérer l'égalité(dérivée/intégrale) vraie en 0 également par continuité.
Merci à tous les deux.