Interaction gravitationnelle

Bonjour,

Je cherche à résoudre ce problème.
Étant donné trois corps de même masse situés à une distance d, au sommet d'un triangle équilatéral,
et soumis à la gravitation universelle, à quel instant les corps se toucheront ?

J'ai commencé à mettre en équation, le problème étant que les 3 objets bougent en même temps.
En outre, je n'arrive pas à montrer qu'il y aura forcément collision.
Avez-vous des pistes ?
Merci pour votre aide

Réponses

  • ça me rappelle des souvenirs, j'ai vu ce problème il y a 3 / 4 ans , déjà les 3 corps ont même masse c'est bien ça ?
    (si je me souviens bien, dans la version que j'avais étudiée les corps restent équidistant dans le mouvement )
  • Tu ne dis rien sur les vitesses initiales. Si au départ les vitesses sont nulles, on doit pouvoir montrer (par invariance par rotation des équations et par unicité de la solution) que les 3 trajectoires se déduisent l'une de l'autre par rotation. Ca doit permettre de se ramener à une unique équation qu'il reste à résoudre. Par des arguments de symétrie et d'unicité on doit aussi pouvoir montrer que le mouvement est rectiligne etc.
  • TT , pour utiliser l'invariance je pense que ça nécessite aussi que les masses soit toutes égales, c'est ça ?
  • Oui.
  • Oui les masses sont toutes égales et les trois corps ont une vitesse intialie nulle.
    OK le mouvement est rectiligne unifrome par symétrie, mais comment résout-on la mise en équation ?
  • A quoi ça ressemble une fois qu'on a mis en équation justement ?
  • J'arrive à quelque chose de la forme :

    d²x/dt² + (dx/dt)^3 + x = 0 ou d²x/dt² - (dx/dt)^3 + x = 0
  • Je pense que ton équation est fausse, tu ne devrais pas avoir le terme
    dépendant de la vitesse...

    Eric
  • Bonsoir,

    Au départ, l'énergie du système est uniquement l'énergie potentielle du système des 3 masses, c'est à dire la somme des énergies potentielle M1-M2, M1-M3 et M2-M3 :

    Ep = 3 (m²Gd)

    Lors de la collision, l'énergie du système est uniquement la somme des énergies cinétiques des 3 masses :

    Ec = 3 (1/2mv²)

    Conservation de l'énergie implique Ec = Ep

    Donc v² = 2mGd qui dépend de la masse des corps.

    Même avec uniquement deux corps, la vitesse de collision dépend de leurs masses.

    Aldo
  • @Aldo,
    Quel rapport avec la question posée?
    De plus je ne suis pas convaincu par ton expression pour l'énergie potentielle...

    Eric
  • Il y a une erreur sur l'energoie potentielle :

    Ep = 3 (m²G/d)
    Si je compends bien , avec v² = 2mG/d,
    onen déduit : dx/dt = racine( 2mG/d)
    D'où : dx = racine( 2mG/d).dt

    et par intégration : (d -0) = racine( 2mG/d).t
    D'où l'instant de collision : t = d / racine( 2mG/d)

    Dans ce cas, effectivement, c'et plus simple que les calculs que j'avais effectués.
    Ce qui me parait bizarre, c'est la dépedance avec m de l'instant de collision, alors que le système est symétrique en m

    merci
  • vitesses initiales nulles, donc les 3 corps devraient entrer en choc au même instant au centre du triangle.

    La position du centre est donnée par OG = 1/3 ( OA+OB+OC)

    Or on a , par le PFD appliqué au système : (OA+OB+OC) " = 0
    et comme les vitesses initiales sont nulles : OA + OB + OC = OG ( 0 )

    le centre du triangle est donc fixe. Donc on peut choisir directement O = G comme origine fixe.

    le système est plan , il suffit donc de se restreindre à deux dimensions. Je pense qu'on pourrait aussi tirer des informations du moment cinétique.

    Sinon le système est invariant par symétrie suivant trois axes, et par rotation d'angle 2pi/3 , je crois qu'il est possible en dérivant de montrer que la symétrie se conserve lors du mouvement, ce qui aura pour conséquence que chaque point restera sur la droite le joignant à l'origine.


    Le triangle sera par symétrie à chaque instant équilatéral , donc rA = rB = rC = r

    l'énergie mécanique du point A (par exemple) se conserve, et l'énergie cinétique est initialement nulle.
    On a donc Ec + Ep = Ep( t= 0)

    l'énergie cinétique est Ec = m r' ² /2

    l'énergie potentielle : Ep = -2Gm²/|AB|

    or le triangle étant équilatéral: AB = r racine(3 )

    donc : Ep= -2Gm²/ ( r racine(3) )

    donc la conservation d'énergie donne :

    r' ² = 4Gm [ 1/( r racine(3) ) - 1/d ]

    le rayon r diminue au court du mouvement, donc r ' est négatif .

    donc la durée T qu'on cherche est ( en prenant en compte le signe - ) :

    T = intégrale de 0 à d / racine (3) de : 2 / racine [ Gm ( 1/(racine (3)*r ) - 1/d ]

    sauf erreur de la calcule .

    Sinon concernant les symétries, il est possible de démontrer l'invariance du mouvement par ces symétries en montrant simplement que le système est invariant par la transformation qui à ( A,B , C ) associe ( C, A, B ) ou ( B, C, A ) , (pour les rotation) , ou bien appliquer une matrice roration constante et dériver pour aboutir pour chaque point à l'équation du mouvement du point suivant .
  • jeremyjeff , tu fais erreur dans ton dernier poste , tu intégres une fonction en prenant uniquement sa valeur en un point ...
  • Bonjour,

    Ok je vois .

    Mais comment calculer l'integrale de la variable r :
    T = intégrale de 0 à d / racine (3) de : 2 / racine [ Gm ( 1/(racine (3)*r ) - 1/d ]

    r ne peut pas être négligé devant d 'puisqu'il varie entre 0 et d/racine(3) )
    en faisant un changement de variable ?

    merci
  • Bonjour,
    c'est une question "physique" donc il se peut bien que l'intégrale ne soit pas exprimable avec des fonctions usuelles.
  • Hum, cela ma parait bizarre, si r est proche de 0, l'intégrale n'est pas définie
  • la fonction est bien intégrable ( de même que 1/racine (x ) est intégrable au voisinage de zéro ! ) , c'est normal que cette divergence apparaisse puisque physiquement l'énergie potentielle diverge quand les points sont voisins.

    J'ai calculé l'intégrale , par changement de variables successifs : x = racine(3) r /d , puis t = racine ( x) (comme tu le sous entendait) , puis enfin sin( téta ) = t

    on obtient finalement : T = 2 pi d racine ( d / (3Gm )
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