Règle à deux bords le retour

chephip

Bonjour,

Suite au problème du mois du Missouri State University, les constructions avec seulement une règle à deux bords parallèles reviennent sur le tapis.

Les "axiomes" définissant ce qui est autorisé :

[C1] Tracer une droite par deux points connus.
[C2] Tracer une droite parallèle à une droite connue, à distance d = largeur de la règle.
[C3] Tracer par deux points connus A et B une droite passant par A et une passant par B, parallèles et à distance d, si AB > d.

Patrice Debart

Construction du pentagone régulier avec quatre règles pivotant autour d'un sommet A en s'inspirant du pliage d'un nœud d'une bande :


Construction à partir d'un sommet A et l'axe de symétrie (AM).

Choisir deux points P et Q (à l'extérieur de l'axe) et placer deux règles le long de (AP) et (AQ).

De façon symétrique, avec P’ et Q’ symétriques de P et Q par rapport à (AM), on place deux autres règles le long de (AP’) et (AQ’).

Il suffit ensuite de déplacer P et Q de telle façon que trois des règles soient concourantes en E d'une part et en D d'autre part.

Terminer le tracé avec le segment [CD]. ABCD est un pentagone régulier.

chephip

Bonsoir,

Avec ta méthode tu effectues sans peine la trisection de l'angle à la règle seule aussi tant qu'à faire !! Cette construction est totalement illégale : revoir les axiomes.
Il s'agit de prouver qu'on ne peut pas construire un pentagone avec exclusivement

[C1] Tracer une droite par deux points connus.
[C2] Tracer une droite parallèle à une droite connue, à distance d = largeur de la règle.

Le "ajuster les points jusqu'à ce que la construction donne ce qu'on veut" est totalement hors de question !
(on peut aussi facilement tripliquer un angle, donc "ajuster la droite de sorte que l'angle tripliqué soit égal à l'angle donné" est une façon de trisecter l'angle, avec n'importe quel instrument permettant de copier des angles, et "méthode" universellement rejetée)

De toute façon ma question était en fait une question d'algèbre : prouver ou infirmer que
tan(pi/5) n'est pas un élément du plus petit sous corps pythagoricien de R.

Avec l'axiome C3 on peut construire à la règle plate seule et sans tricher (en respectant rigoureusement les axiomes ci-dessus) tout ce qu'il est possible de construire à la règle et au compas.
Cette conclusion étonnante est "bien connue" (cf un document d'une IREM, Toulouse je crois)

Ma méthode pour le prouver (avec une construction légale du pentagone avec C3)
ici : http://mathafou.free.fr/pbg/sol171.html et page suivante.

C'était lors de la rédaction de cette page que je me suis posé la question de justifier mon affirmation que le pentagone est impossible (légalement) sans C3.

Cordialement.