Des fonctions toutes simples...

clothoide

Bonsoir,

Je ne fais plus trop de math depuis un certain temps, et mes rares passages sur le Forum en témoignent : ainsi va la vie...

Ayant un peu de temps à perdre cet après-midi, j'ai ressorti un vieil ouvrage de TC (de mon époque) pour étudier "classiquement" (limites, variations, graphe) quelques fonctions toutes simples, histoire de voir si j'ai encore quelques bons réflexes : et ce n'est plus vraiment le cas. Cela me désole au plus haut point.

Bloquant sur des concepts de base, j'ai deux questions à vous soumettre sur des calculs de limite.

1. Pour étudier la limite de la quantité suivante : $\dfrac{x}{x^2-1} + \ln \dfrac{x+1}{x-1}$ lorsque $x$ tend vers $1^+$, j'écris que :
$\dfrac{x}{x^2-1} + \ln \dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{1}{x-1} (\dfrac{x}{x+1} +(x-1) \ln (x+1) -(x-1) \ln (x-1))$

Pour $(x-1) \ln (x-1)$, cela tend classiquement vers $0$ ; et pour $(x-1) \ln (x+1)$ ?
J'aboutis par passage à la limite à $0^+ \times \ln 2$, c'est à dire $0$?

En fait, je n'arrive plus à faire la différence entre une quantité qui tend vers $0^+$, et vers $0$. C'est la même chose?

2. Question du même genre pour la limite de quantité suivante : $x + \ln |\dfrac{x-1}{x+1}|$ lorsque $x$ tend vers $1^+$, et vers $1^-$?

edit : la valeur absolue ne rend t-elle pas caduque la signification de tendre vers "par valeurs inférieures ou supérieures"?

Merci pour vos explications,
Cordialement,
Clotho

Braun

Bonjour,
Zéro à gauche ou zéro à droite, la question se pose essentiellement dans deux cas~:
1) Quand la fonction $f$ n'est pas définie à gauche ou à droite de zéro.
2) Quand les deux limites sont différentes.
Dans ces deux cas, il s'agit des conditions sur la variable $x$.
Dans l'exemple $x + \ln \left| \dfrac{x-1}{x+1}\right| $, je poserais $h = x+1$ (resp. $h = x-1)$ et la valeur absolue gomme le signe de $h$, je ne vois pas, a priori, la nécessité de séparer la gauche et la droite de $-1$, (resp. $1$).
Deuxième face du problème, si tu établis qu'une expression, $f(x)$, admet la limite zéro dans certaines conditions, le fait de savoir que cette expression tend vers zéro en restant positive (ou en restant négative) est une information supplémentaire qui peut être bien utile e.g. quand on cherche la position d'une courbe par rapport à une asymptote.
Cordialement

clothoide

@Braun : merci pour ton explication. Sur la nécessité de considérer la limite en 1 par valeurs supérieures (resp. inférieures), et sauf erreur de ma part, c'est la contrainte de la définition du logarithme qui l'impose. Par ailleurs, la fonction à étudier étant impaire, la restriction de l'étude à l'intervalle $\R_+ \setminus\{1\}$ est suffisante.

edit : pour ma question 2. et en suivant tes indications, on pose $h=x-1$ pour obtenir $f(h)= h+1+ \ln |\dfrac{h}{h+2}|$. Et dans ce cas, la limite lorsque $x$ tend $1$ par valeurs inférieures ou supérieures est $-\infty$.