Série entière

Matmat81

Bonjour,
Une série entière réelle de rayon de convergence l'infini converge uniformément sur tout compact de R mais ne converge pas nécessairement uniformément sur R.
Je ne trouve pas d'exemples illustrant cela.
Pouvez-vous m'aider?

gerard0

L'exponentielle ?

gb

Bonjour,

Si la série de fonctions de terme général \(u_n\) converge uniformément sur un ensemble \(A\), alors la suite de terme général \(u_n\) converge uniformément vers 0.

Dans le cas d'une série entière~: si la série converge uniformément sur \(\R\), alors la suite de monômes \(a_nx^n\) converge uniformément vers 0 sur \(\R\), donc la suite de terme général \(a_n\) stationne à ;a valeur 0.

Matmat81

Désolé de revenir sur le sujet,
Y-a-t-il un moyen simple de montrer que $ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$?
D'avance merci

Guego

Oui, en comparant le $\sup$ sur $]-\infty;0[$ des sommes partielles à celui de $\exp$.

Matmat81

C'est-à-dire...

gerard0

Comme d'habitude avec la convergence uniforme, on étudie :
$\sup\limits_{x\in \mathbb R} [e^x-\sum_{n=0}^{N}\frac{x^n}{n!}]$

Cordialement.

Miskha

un petit exercice classique : Montrer que si $f$ est limite uniforme d'une suite de polynôme sur $R$ , alors $f$ est nécessairement un polynôme . Autrement dit tu prends n'importe quelle fonction de rayon de convergence infini , et qui n'est pas un polynôme, et ça marchera comme contre exemple

Matmat81

Justement, c'est suite à cet exercice que j'ai posé cette question. Mais comment fais-tu pour montrer qu'une fonction n'est pas polynomiale...

Miskha

la suite définie dans le dernier poste de Gerard , il y a convergence uniforme sur $\R$ par définition si et seulement si cette suite converge vers zéro

Or, il y a quelque chose qui "cloche" avec cette suite , essaie de calculer sa valeur, tu verras bien

Matmat81

Oui je sais que cela cloche avec l'exponentielle.

Miskha

justement , le "clochage" est le même pour toutes les séries qui sont pas polynomes . Qu'est ce que tu as trouvé qui cloque avec l'exponentielle ?

Matmat81

En factorisant dans la valeur absolue de $\sup\big|e^x-\sum_{k=0}^{N}\frac{x^k}{k!}\big|$ par l'exponentielle, je vois bien que par croissance comparée, le sup ne peut pas tendre vers 0 mais pourquoi cela reste vrai pour une fonction non polynomiale autre que l'exponentielle ?

Miskha

le sup ne peut pas tendre vers zéro simplement parce qu'il est infini ! , la différence n'est pas bornée sur $\R$ , pareil pour toutes les autres séries . au voisinage de l'infini le terme de plus haut degré dans un polynôme domine, mais quand y a une série à coté ...

applique le critère uniforme de Cauchy à la suite des sommes partiels , tu pourras démontrer qu'une suite de polynôme ne peut converger uniformément sur $\R$ que vers un polynôme

aléa

Il me semble que gb a déjà donné la meilleure réponse possible: si $s_n(x)=\sum_{k=1}^n u_n(x)$ et que $\|.\|_{\infty}$ désigne le sup sur un ensemble donné $A$, on a pour toute fonction $S$:

$\|u_{n}\|_{\infty}\le \|S-s_{n}\|_{\infty}+\|S-s_{n-1}\|_{\infty}$,

Si $s_n$ converge uniformément vers $S$, ou a pour $n\ge N_0$ assez grand $\|u_{n}\|_{\infty}\le 2$.

Si on peut écrire $u_n=a_n x^n$ et que la suite $(a_n)$ n'est pas nulle à partir d'un certain rang, il existe $n\ge N_0$ avec $a_n\ne 0$.

Pour tout $x$ dans $A$ $ |a_n| |x[^n\le 2$, donc $A$ est borné.

Edit: au fond, on enlève les termes nuls, et on voit qu'une série de fonctions non bornées ne peut converger uniformément.

Miskha

si $(P_n)_n$ est une suite de polynômes convergent uniformément vers une fonction $f$ sur $\R$ , alors

$||P_n - P_m||_{\infty} \le || P_n - f||_{\infty} + ||P_m - f||_{\infty} $

donc pour $\epsilon = 1/2$ , il existe $n_0$ , tel que pour tout $n , m \ge n_0$ , on a :

$||P_n - P_m||_{\infty} \le 1$

en particulier, la quantité est bornée , donc le polynôme $P_n - P_m$ est constant , et donc $P_n(X) - P_m(X) = P_n(0) - P_m(0)$

en tendant $m$ vers l'infini , on a donc, pour tout $x$ dans $\R$ : $f(x) = P_n(x) - P_n(0) + f(0)$

donc $f$ est bien une fonction polynominale

moa16640

Le sujet est très intéressant, puisqu'il concerne la différence entre "convergence uniforme sur tout compact de R" et "convergence uniforme sur R", dont la différence est difficile à appréhender.

Si tu prends un compact de R, pour simplifier sans perdre de généralité (pourquoi ?), on va prendre [a,b] fermé borné, la convergence sera uniforme, et ce, quels que soient a et b, par contre, si tu prends R tout entier, la convergence ne sera jamais uniforme.

Pourquoi, tout simplement parce que la convergence uniforme est une notion globale, donc dépend de l'ensemble sur lequel on travaille. On peut aussi s'en convaincre avec (1+x/n)^n ...

Magnolia

Bonjour moa1664

Comme tu donnes à la fin de ton post une suite de fonctions qui n'est pas une série entière, j'ai peur que ton post induise certains en erreur... Une suite (ou série) de fonctions peut très bien converger simplement mais pas uniformément sur un compact et elle peut aussi converger uniformément sur $\R$ tout entier!