Convergence somme de VA iid L1

Askelad

Bonjour,

Je m'intéresse à la convergence d'une somme de variables aléatoires iid réelles $L^1$.
Si elles étaient $L^2$, on sait facilement calculer $||S_n - n\mu||_2$ et en déduire la vitesse de convergence de la moyenne empirique vers la moyenne en norme $L^2$. Si on veut la convergence en norme $L^1$, on utilise simplement que la norme $L^1$ est dominée par la norme $L^2$.

Maintenant, que se passe-t-il (en norme $L^1$) si nos VA ne sont que $L^1$ ? En utilisant la densité de $L^2$ dans $L^1$, on peut montrer que la moyenne empirique converge encore.

Ma question est : existe-t-il des résultats sur la vitesse de cette convergence ?

Merci pour votre aide,
Adrien

aléa

Une réponse bête: ça peut être très lent, par exemple avec une loi stable d'indice $1,00001$.