Estimation d'erreur dans le calcul intégral
Bonjour,
Voici mon problème, je veux estimer l'erreur commise lors du calcul de $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\, \mathrm dx$ par son développement en série entière.
Mon problème est que le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\,x^n$ est 1 et donc on ne peut pas intervertir somme et intégrale, car il n'y a pas la convergence uniforme sur $[0;1]$, pour intégrer ce DSE.
D'avance merci.
Voici mon problème, je veux estimer l'erreur commise lors du calcul de $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\, \mathrm dx$ par son développement en série entière.
Mon problème est que le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\,x^n$ est 1 et donc on ne peut pas intervertir somme et intégrale, car il n'y a pas la convergence uniforme sur $[0;1]$, pour intégrer ce DSE.
D'avance merci.
Réponses
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On peut intervertir sans problème car il s'agit d'une série alternée. Il suffit d'encadrer $\log(1+x)$ entre une somme partielle paire et une impaire (pour chaque $x<1$, et $x=1$ en résulte si on veut) puis d'encadrer. Cela donne un encadrement de l'intégrale par les sommes partielles paires respectivement impaires de la série obtenue en permutant formellement. Les séries intégrées convergent et donc on passe à la limite qui est la même des deux côtés.
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Quel est le théorème qui permet d'intervertir somme et intégrale dans une série alternée?
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Pourquoi te faut-il absolument un théorème? on a abondamment commenté ici que les programmes à tous les niveaux sont déficients, et les livres ne sont jamais complets, car la seule chose qui compte c'est le fonctionnement du cerveau humain. Tu suis les explications que j'ai données et tu l'auras ton théorème. Le théorème de Matmat81 que tu pourras utiliser dans d'autres contextes. C'est ce qu'on appelle la culture. Non pas la culture d'un savoir préformaté, mais celle issue d'une véritable éducation. Et la seule personne qui peut t'éduquer c'est toi-même. Ni Dieu, ni Maître. Bonne continuation.
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