équation dans Z/pZ

sql

Bonjour,

a,b,c,d,x sont des éléments de Z/pZ avec p premier.
je cherche à montrer que l'équation d'inconnue x : (a+x-d)² + 4bc = 0 a une solution.
Dans une correction, on affirme : " (a+x-d)² + 4bc est un carré ".
Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi ?

Merci par avance !

Fin de partie

$(a+x-d)² + 4bc = 0$ mod $p$ est équivalent à :

$(a+x-d)² =-4bc$ mod $p$

Si on prend $p=7$, $b=2$ $c=4$

$-4bc=-4\times 2\times 4=-32$ et $-32=3$ mod $7$

Et dans $\Z /7\Z$ seulement $1,2,4$ sont des carrés.

sql

Donc mon équation n'a pas nécessairement de solution si je comprends bien.
J'ai dû omettre une hypothèse sur a,b,c,d.
Ou bien le corrigé est faux.

Merci !

Fin de partie

Donc mon équation n'a pas nécessairement de solution si je comprends bien. a écrit:

En effet.

sql

zephir

Bon jour,
$A+\lambda B$ étant diagonalisable (par hypothèse), le discriminant est forcément un carré parfait. En effet, l'équation caractéristique peut toujours s'écrire sous la forme $(X-\alpha)^2=\Delta$ où $\Delta$ est le discriminant, et cette équation a, par hypothèse une racine dans $F_p$.

sql

J'ai compris !

Merci.