Extension algébrique

clemclem

Bonjour,

Je bloque sur un petit point de la démonstration du théorème de Lüroth.

On prend $ Z\in\mathbb{K}(T)\setminus \mathbb{K}$ et on montre que : $T$ est algébrique sur $\mathbb{K}(Z)$ de degré $r$.

Alors pourquoi : $\mathbb{K}(T)$ est algébrique de degré $r$ sur $\mathbb{K}(Z)$ ?
Merci d'avance.

gb

Bonjour,

Qui est \(r\) ?

clemclem

$r=\max(\deg F,\deg G)$ avec $Z=\dfrac{F(T)}{G(T)}$.

Yalta

Bonjour,

On a $G(T)Z - F(T) = 0$, donc $T$ est racine d'un polynôme à coefficients dans $K(Z)$ de degré $r$ et $K(T)$ est donc algébrique de degré (au plus) $r$ sur $K(Z)$.

gb

Bonjour

Il est immédiat que \(T\) est racine du polynôme \(P(X)=ZG(X)-F(X)\) à coefficients dans \(\mathbb{K}(Z)\) et que \(P\) est bien de degré \(\max\bigl(\deg(F),\deg(G)\bigr)\) parce que \(Z\) n'appartient pas à \(\mathbb{K}\). Le seul point un peu délicat est de prouver que \(P\) est irréductible dans \(\bigl(\mathbb{K}(Z)\bigr)[X]\) dès que \(F\) et \(G\) sont premiers entre eux.

On suppose que l'on ait~: \(P(X)=Q(X)R(X)\) avec \(Q\) et \(R\) deux éléments de \(\bigl(\mathbb{K}(Z)\bigr[X]\).
Les coefficients de \(Q\) (tesp. de \(R\)) sont des fractions rationnelles en \(Z\) que l'on réduire au même dénominateur \(D_Q\) (resp \(D_R\)), d'où l'égalité:
\[D(Z)P(X)=A(X,Z)B(X,Z)\]
où l'on a noté~: (D=D_QD_R\) et où \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathbb{K}[X,Z]\approx\bigl(\mathbb{K}[Z]\bigr[X]\approx\bigl(\mathbb{K}[X]\bigr[Z]\).
Si on cette égalité dans \(\bigl(\mathbb{K}[X]\bigr[Z]\), tout facteur irréductible de \(D(Z\) divise \(A(X,Z)B(X,Z)\) donc, par le théorème de Gauss, divise \(A(X,Z)\) ou \(B(X,Z)\), et on peut simplifier l'égalité par ce facteur irréductible.
Après élimination de tous les facteurs irréductibles de \(D(Z)\), il subsiste~:
\[ZG(X)-F(X)=P(X)=A(X,Z)B(X,Z)\]
et la considération du degré en \(Z\) prouve que l'un des polynômes, \(A(X,Z)\), est de degré \(0\) en \(Z\), et l'autre, \(B(X,Z)\), de degré \(1\)~; l'égalité obtenue est de la forme~:
\[ZG(X)-F(X)=C(X)\bigl(ZU(X)+V(X)\bigr)\]
donc \(C\) divise \(F\) et \(G\) qui sont premiers entre eux et est un polynôme constant, ce qui prouve que \(P\) est irréductible .

clemclem

Non mais ca j'ai compris, c'est le passage de $T$ est algébrique de degré $r$ à $\mathbb{K}(T)$ l'est qui me pose problème...

phi27

C'est une extension monogène par un élément algébrique de degré $r$ (car $P$ est irréductible et donc $\K(T)\simeq\K[X]/(P)$), de la même façon que $\C=\R(i)$ est de degré 2 sur $\R$.

Yalta

Si $a$ est racine d'un polynôme irréductible $P$ de degré $r$ sur un corps $K$, alors $P$ est le polynôme minimal de $a$ et $(1, a, a^2, \ldots, a^{r-1})$ est une $K$-base de $K(r)$ ie $[K(r) : K] = r$. C'est un peu - pardon - le b-a-ba...

phi27

Tout à fait, Yalta, sauf que tu veux sans doute parler de $\K(a)$ et pas de $\K(r)$.