Décomposition d'une tribu

Askelad

Bonsoir,

Je bloque sur une question que je me pose concernant les tribus.

Soit $\Omega$ un ensemble, muni d'une tribu $\mathcal{A}$
J'essaye de décomposer $\Omega$ en une partition "atomique" induite par la tribu.
L'idée est d'écrire $\Omega = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$ où $\mathcal{B}$ contient les plus petits éléments non vides mesurables : $B \in \mathcal{B}$ ssi $B \in \mathcal{A}$ et $\forall C \subset B, C \not\in \mathcal{A}$.

Il est facile de montrer que la réunion est disjointe, mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est bien égale à $\Omega$. Pour cela il faudrait que j'arrive à définir un plus petit ensemble mesurable contenant $\omega \in \Omega$. Je pourrais prendre l'intersection de tous les parties mesurables contenant $\omega$, mais comme cette intersection n'est pas forcément dénombrable, cet ensemble n'est pas forcément mesurable.

Quelqu'un saurait-il m'aider à démontrer ce résultat, où me donner un contre-exemple pour me prouver qu'il est faux ?

Merci d'avance...
Adrien

TheBridge

Hello,

Pour le cas général je ne sais pas, par contre cela devient trivial si tous les points de l'espace sont dans la tribu, or dans la vie de tous les jours on travaille le plus souvent avec des tribus boréliennes (ou des raffinements de tribus boréliennes en ajoutant les ensembles négligeables pour une mesure donnée par exemple), si ces tribus sont issues d'une topologie où l'espace est séparé (ou Hausdorff) alors les singletons sont fermés et appartiennent donc à la tribu, c'est par exemple le cas des espaces Polonais.

Donc si un contre exemple existe, il est nécessaire que la tribu ne contienne pas tous les points de $\Omega$.

Sinon en supposant que tu aies démontré que c'est vrai, ta collection $\mathcal{B}$ est trop fine pour une quelconque application je pense et comme ta "construction" est "non constuctiviste" si j'ose dire, je ne vois pas quoi en faire. Par exemple avec les singletons, on ne peut pas reconstruire à l'aide d'unions dénombrable (une des opérations naturelles associée aux tribus) tous les ensembles mesurables non dénombrables de la tribu. Donc c'est un peu bof bof comme caractérisation je trouve.

a+

danielsaada

Bonsoir,

Une tribu, dès que l'univers n'est pas dénombrable,

peut n'avoir aucun atome. On sait construire un

exemple quand l'univers est R^R .

Cordialement,

D.S

Askelad

Merci pour vos réponses.

@TheBridge : Je suis d'accord, la notion n'a pas forcément un intérêt fou, mais c'est juste une question que je me posais. Si c'était vrai, ça permettrait déjà de construire des sous tribus "engendrée par des ensembles dénombrables" facilement...
Pour le côté non constructiviste, certes, mais bon quand tu définis la tribu engendrée par $X \subset \mathcal{P}(\Omega)$ par intersection (non dénombrable) de toute les tribus contenant $X$, c'est pas très constructiviste non plus...

@danielsaada : Merci, je me disais bien que ça devait être faux (sinon la notion aurait bien été introduite dans quelques bouquins), mais je cherchais une confirmation. J'imagine que le contre exemple est un peu long pour être donné sur le forum, mais est ce que vous auriez un lien ou une référence ?

Adrien

Steven Neutral

La correspondance de Rokhlin entre les tribus complètes et les partitions mesurables, est susceptible de t'intéresser. Un bref exposé ici.

danielsaada

L'exemple dont je parlais est contenu dans la brochure numéro 17

de l'APMEP, intitulée HASARDONS-NOUS, 1976, page 184.

Peut-être peut-on encore la trouver en bibliothèque ?

Steven Neutral

Bonjour Daniel,
Je ne connais pas ton contre-exemple mais j'y crois sans peine : en probas les choses se passent mal quand on a une tribu non séparable. Je dirais plutôt non essentiellement séparable, c'est-à-dire séparable quand on travaille modulo les négligeables ; par exemple, la tribu queue d'une suite indépendante de piloufasses n'est pas séparable, mais modulo les négligeables elle est séparable, c'est même la tribu triviale.
Le cadre confortable est donc celui des tribus séparables quand on travaille modulo les négligeables (ce qui revient à dire que cette tribu est engendrée par une variable aléatoire), et dans ce cadre la correspondance de Rokhlin est la bonne manière (mais pas trop probabiliste) de travailler avec des "atomes".

danielsaada

Bonsoir à tous,

Voici l'exemple d'une tribu T sans atome.

L'univers est l'ensemble de toute les fonctions de R dans R.

Un élément A de T est défini par deux données :

1) une partie D dénombrable (d1, d2, ...) de réels ;

2) une suite (B1, B2,...) de boréliens de R.

A est l'ensemble des fonctions f vérifiant : pour tout n, f(dn) est dans Bn.

On vérifie que T est une tribu.

T n'a pas d'atomes car R n'étant pas dénombrable, on obtient

des parties propres de A en rajoutant un réel à D, indéfiniment.

Askelad

Merci à vous deux pour les contre-exemples, j'ai la réponse à mes interrogations !