Inéquation fonctionnelle
Bonjour,
En farfouillant dans une liste d'exercices niveau L2, je suis tombé sur l'énoncé suivant:
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ deux fois continûment dérivable, et telle que $f+f'' \ge 0$. Montrer que pour tout $x$ on a $f(x)+f(x+\pi) \ge 0$.
Est-ce que vous auriez une idée de solution? Merci!
En farfouillant dans une liste d'exercices niveau L2, je suis tombé sur l'énoncé suivant:
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ deux fois continûment dérivable, et telle que $f+f'' \ge 0$. Montrer que pour tout $x$ on a $f(x)+f(x+\pi) \ge 0$.
Est-ce que vous auriez une idée de solution? Merci!
Réponses
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Hello,
L'astuce classique consiste à faire deux intégrations par parties sur $\int_{x}^{x+\pi} f''(t) \cos(t+\theta) \, dt$, puis à bien choisir $\theta$. -
Bonjour,
Et la méthode sans astuce consiste à dire que, en notant \(g=f+f''\), \(f\) est solution de l'équation différentielle~: \(y+y''=g\). On détermine, par la variation des constantes, deux fonctions \(u\) et \(v\) telles que, pour tout nombre réel \(x\)~:
\[f(x)=u(x)\cos x+v(x)\sin x\]
et on obtient une expression intégrale de \(f(x)\) en fonction de \(g\). -
A priori, je préfère nettement la solution sans astuce . Mais il y a sans doute des idées intéressantes dans l'autre méthode aussi.
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Merci beaucoup à vous deux! J'avais commencé à essayer quelque chose qui ressemblait à la deuxième solution, mais comme c'était dans un chapitre sur l'intégration je me suis dit que je devais chercher midi à quatorze heures, et j'ai abandonné... J'imagine que celui qui a posé l'exo s'attendait pluôt à la première méthode, mais sans indication ça me paraît franchement dur au niveau L2 - bon, peut-être que j'essaie de réconforter mon ego, là...
Merci encore! -
Je ne vois pas très bien pourquoi la solution de l'équation différentielle fournit une réponse au problème initial. Ainsi, f=x2 satisfait f + f " >=0 partout sans que x2 ne soit de quelque façon relié à l'équation différentielle, EQD, ne considérant que la stricte égalité. En effet, le problème initial en est un d'inégalité, et la solution de l'EQD fournit en quelque sorte une borne, mais non TOUTES les fonctions possibles satisfaisant f + f " > = 0. Il me semble qu'un principe de calcul variationnel est requis pour conclure proprement sur l'ensemble possible des fonctions dérivables admettant f + f " > 0 ( mais je ne vois pas comment le faire intervenir ). Je me trompe?
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Oui, je dois dire que maintenant que j'ai essayé d'écrire les calculs je ne vois pas comment marche la deuxième méthode (par contre, la première marche très bien, mais je ne comprends pas pourquoi! I.e, les calculs sont faciles, mais pourquoi introduire cette fonction auxiliaire?)...
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La méthode de la variation des constantes conduit à chercher les solutions de l'équation différentielle linéaire du second ordre \(y''+y=g\) sous la forme~:
\[f(x)=u(x)\cos x+v(x)\sin x\]
en résolvant le système:
\[\begin{cases}u'(x)\cos x+v'(x)\sin x=0\\-u'(x)\sin x+v'(x)\cos x=g(x)\end{cases}\]
d'où:
\[\begin{cases}u'(x)=-g(x)\sin x\\v'(x)=g(x)\cos x\end{cases}\]
et:
\begin{align*}f(x)+f(x+\pi)&=u(x)\cos x+v(x)\sin x-u(x+\pi)\cos x-v(x+\pi)\sin x\\&=-\cos x\int_x^{x+\pi}u'(t)\,dt-\sin x\int_x^{x+\pi}v'(t)\,dt\\&=\int_x^{x+\pi}g(t)(\sin t\cos x-\cos t\sin x)\,dt\\&=\int_x^{x+\pi}g(t)\sin(t-x)\,dt.\end{align*}
Pour tout nombre réel \(t\) appartenant à \([x,x+\pi]\): \(0\leq t-x\leq\pi\), donc \(\sin(t-x)\geq0\); l'hypothèse de positivité de la fonction \(g=f+f''\) permet de conclure immédiatement à:
\[f(x)+f(x+\pi)\geq0.\] -
Camille "air" Jordan écrivait:
> mais sans
> indication ça me paraît franchement dur au niveau
> L2 - bon, peut-être que j'essaie de réconforter
> mon ego, là...
Je pense aussi que sans indication c'est (très) difficile. Avec indication ça devient un exo (un peu dur ?) de colle en sup. -
Vanderghast a écrit:Ainsi, f=x2 satisfait f + f " >=0 partout sans que x2 ne soit de quelque façon relié à l'équation différentielle,
La fonction f est solution de l'équation différentielle y''+y=2+x2. -
D'accord, en fait je ne savais plus comment appliquer la variation de la constante pour une équa diff d'ordre 2 - c'est loin, tout ça! Exprimer la solution comme ça permet de comprendre pourquoi la technique avec les IPP marche (le $\sin(x-t)$ de l'autre équation est tout de suite moins magique).
Merci de m'avoir rafraîchi la mémoire sur la recherche de solutions particulières des équations différentielles de degré 2!
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