Riesz Fréchet Kolmogorov

clemclem

Bonjour,

J'aurais besoin d'un peu aide pour la fin de la démonstration du livre de Brézis (pp 73-74) du théorème de Riesz Fréchet Kolmogorov.

Je reprends les notations du livre de Brézis. $\omega$ est un ouvert dont la fermeture est compact. $\bar{\omega} \subset \Omega$. F un sous ensemble borné de $L^p(\Omega)$ tel que : $\lim_{|h| \to 0} sup_{f\in F} ||\tau_h f - f || = 0$.
On cherche à montrer que $F_{\omega}$ est relativement compact dans $L^p(\omega)$.

1ier point qui m'embête un peu :

Pourquoi si $H=(\rho_n \star f)$ (où $\rho_n$ est une suite régularisante) (ici est relativement compact dans $C(\bar{\omega})$ alors a fortiori il l'est dans $L^p(\omega)$?

Le caractère séparé ne pose pas de problèmes car les espaces dans lesquels on travaille le sont. Mais ce que je ne vois pas c'est comment à partir d'un recouvrement de l'adhérence de H dans $L^p(\omega)$ on peut trouver un recouvrement fini en passant par $C(\bar{\omega})$.

Pour la conclusion, on sait d'après la première étape : $||\rho_n \star \bar{f}-\bar{f}||_{L^p(\omega)} < \epsilon$ (on a fixé $\epsilon$ et n), il indique qu'on peut recouvrir par un nombre fini de boules de taille $\epsilon$ H dans $L^p(\omega)$. (Ceci ne me pose pas de problèmes, on peut recouvrir son adhérence par un nombre fini de boules de taille $\epsilon$).

On en déduit d'après $||\rho_n \star \bar{f}-\bar{f}||_{L^p(\omega)} < \epsilon$ que les boules de meme centre de rayon $2\epsilon$ recouvre $F_{\omega}$ (c'est l'inégalité triangulaire).

Et il conclut par $F_{\omega}$ est donc relativement compact et je ne comprends pas en quoi l'avoir recouvert d'un nombre fini de boules de taille donnée permet de conclure.
Ce qui me chagrine surtout c'est qu'on a jamais extrait de sous recouvrement fini d'un recouvrement quelconque.

Merci d'avance.

JLT

Je n'ai pas regardé en détail mais il me semble que pour le premier point on utilise le fait que l'image d'un compact par une application continue est compact. Pour le dernier point on utilise le fait qu'un espace précompact et complet est compact.

clemclem

Bonjour,

Concernant le 1ier point pourriez-vous développer car je comprends pas ce que ce fait vient faire ici...

Concernant le deuxième point, il faudrait encore montrer que $F_w$ est précompact, ce n'est pas ce qui est fait. On exhibe ici un recouvrement fini de taille $2\epsilon$ mais on n'extrait pas d'un recouvrement de taille $2\epsilon$ un recouvrement fini.

Merci.

JLT

J'ai du mal à répondre car tu n'as pas défini toutes tes notations. J'imagine qu'on doit utiliser que l'application $i:C(\bar{\omega})\to L^p(\omega)$ est continue donc si $\bar{H}$ est compact, son image par $i$ aussi.

Pour le deuxième point, connais-tu la définition de la précompacité ?

clemclem

Ok pour le point 1.

Concernant le second point, on a recouvert $F_{\omega}$ de boules de rayons $\epsilon$, mais il faudrait recouvrir son adhérence non? (pour la définition je viens de relire celle de wikipedia).

JLT

Si un ensemble $F$ est recouvert par des boules de rayon $\epsilon$, alors les boules de mêmes centres et de rayons $2\epsilon$ recouvrent l'adhérence de $F$.

clemclem

Effectivement. Merci bien.