Alignement 1

Bouzar

Bonjour

Un nouvel exercice (provenance : 2011 Mongolian Test ).

Soit $ABC$ un triangle. Le cercle inscrit du triangle $ABC$ touche les côtés $[BC], [CA],$ et $[ AB]$ aux points $A_1, B_1, C_1$ respectivement.
Soit $I$ le centre du cercle inscrit, $O$ le centre du cercle circonscrit.
On suppose que :
1. les droites $(OI)$ et $(BC)$ se rencontrent au point $D.$
2. La perpendiculaire passant par $A_1$ à la droite $(B_1 C_1)$ intersecte la droite $(AD)$ au point $E.$

Démontrer que le milieu $M$ du segment $[ EA_1]$ appartient à la droite $( B_1 C_1).$ Autrement dit, les points $B_1, M, C_1$ sont alignés.

Bouzar

Bonjour

Voici la figure :

stfj

Bonjour,

Je réactualise cet exercice qui n'a pas été résolu.

bd2017

Bonjour

Calcul barycentrique avec les notations habituelles: ($BC=a,...$)

 $$ B_1=[a b+b^2-b c,0,-a b+b^2+b c]$$

$$C_1= [a c-b c+c^2,-a c+b c+c^2,0]$$

$$M=[a^2 b+a^2 c-b^3+b^2 c+b c^2-c^3,-a^2 b+2 a b c+b^3-b c^2,-a^2 c+2 a b c-b^2 c+c^3]$$

$$ | B_1,C_1,M|=0$$

Print "c'est gagné "

Rescassol

Bonjour,

%  Bouzar - 02 Novembre 2024 - Alignement 1 (Décembre 2011)

clear all, clc

syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

I=[a; b; c]; O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
A1=[0; a+b-c; a-b+c]; [B1 C1]=PermCirc(A1,a,b,c);
D=SimplifieBary(Wedge(Wedge(O,I),BC));
% On trouve D=[0; -b*(a-b)*(a+b-c); -c*(a-c)*(a-b+c)]
B1C1=SimplifieBary(Wedge(B1,C1)); % B1C1=[a-b-c, a-b+c, a+b-c]
Perp=SimplifieBary(DroiteOrthogonaleBary(A1,B1C1,a,b,c));
% On trouve Perp=[(b-c)*(b-a+c), -(b+c)*(a-b+c), (b+c)*(a+b-c)]
E=SimplifieBary(Wedge(Wedge(A,D),Perp));
% E=[(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c); -b*(a-b)*(a+b-c); -c*(a-c)*(a-b+c)]
M=SimplifieBary(MilieuBary(E,A1));
% M=[(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)]

Nul=Factor(det([B1 M C1]))
% On trouve Nul=0 donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

Aucune idée pour une résolution synthétique?

Sincèrement 
Jean-Louis