Le nombre d'or

afondsurlenet

Partie 1 :
Définition du nombre d'or : Le nombre d'or est le nombre irrationnel noté par la lettre grecque phi (prononcer phi) et égal à phi = (1 + (racine carré de)5)/2
1 ) Donner une valeur approchée à 10-6 près du nombre d'or.
2 ) A l'aide d'un tableur, donner une valeur approchée à 10-12 près du nombre d'or.

Partie 2:
Construire un carré ABCD de côté 1 et marquer le milieu I de [AB]. Tracer le cercle de centre I et de rayon IC ; il coupe la demi-droite [AB) en E. Construire le rectangle AEFD.

Q2. Calculer la valeur exacte de IC puis démontrer que AE= DF= (1+ racine de 5 ) / 2

Partie 3:
1) Montrer que le nombre d'or phi est solution de l'équation x^2 - x - 1 =0
2) Démontrer alors que l'inverse de l'opposé de ce nombre Phi est aussi solution de cette équation.

Partie 4 :
On considère la suite de fractions:
F1 = 2
F2= 1+1/2
F3= 1+ ( 1/ 1+(1/2))
F4= 1+1/(1+F3)

1/ Simplifier ces fractions et donner une valeur approchée à 10^-6 près
2/ reprendre les calculs en remplacant 2 par 1
3/ Sur un tableur saisir un nombre A positif dans la cellule A1
Dans la cellule A2 marquer "=1+1/A1 " puis recopier vers le bas jusqu'à la ligne 30
Observer les décimaux obtenus et comparer au nombre d'or.

NB: On demandera l'écriture des nombres décimaux avec 12 décimales
4/ Recommencer en remplacant A par un autre nombre positif


Partie 5 :
La suite de Fibonacci est l'une des suites de nombres les plus connues. Elle doit son nom au mathématicien italien Léonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci (1175-1250).
Les deux premiers termes étant 0 et 1, chaque terme suivant est la somme des deux termes précédents.
Voici donc les 7 premiers termes de la suite de Fibonacci : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ...

1) Continuer cette suite de nombres jusqu'au 15-ème terme.
2) Calculer le quotient du 12-ème terme par le 11-ème, puis le quotient du 13-ème terme par le 12-ème, puis celui du 14-ème par le 13-ème et enfin le 15-ème par le 14-ème. Que peut-on constater ?
3) A l'aide d'un tableur, calculer les 30 premiers termes de la suite de Fibonacci.
4) A l'aide du tableur, calculer la suite des quotients obtenus en divisant un terme par son précédent. Que peut-on constater ?

Partie 6 :
1/ Vérifier que Phi^2 = Phi + 1
2/ Montrer que Phi^3 = 2Phi +1 en partant de l'égalité Phi^3= Phi^2 x Phi et en remplacant Phi^2 par Phi+1

Montrer de la meme facon que Phi^4 = 3Phi +2

gerard0

Oui,
et alors ?
Conformément à la charte du forum, tu vas poser une question, poliment, sur ce qui te pose des problèmes. car cet énoncé est tellement détaillé qu'il ne demande que de le faire sans réfléchir.
Cordialement.

afondsurlenet

Je bloque pour la partie 3 qui peut m'aider?

gerard0

Ok.
Pour le 1, c'est une simple vérification. Tu calcules $x^2-x-1$ en prenant pour $x$ le nombre d'or, et tu trouves 0.
Pour le 2, soit tu fais la même chose avec l'inverse de l'opposé, soit, si tu connais la formule sur le produit des racines, tu le calcules et tu en conclus que la deuxième racine est l'inverse de l'opposé de l'autre.
Bon travail !
C'est à quel niveau ?

NB. Il y a une erreur dans la partie 4. C'est F3= 1+ 1/( 1+(1/2)) et pas F3= 1+ ( 1/ 1+(1/2)) =1+(1+1/2).

afondsurlenet

Peux tu me donner un coup de main pour la partie 6 c'est la dernière partie ou je bloque.

gerard0

1) $\phi$ est solution de $x^2-x-1=0$.
[La case LaTeX. AD]

jean lismonde

bonsoir

phi² = phi + 1 puisque phi est solution de l'équation du second degré: x² = x + 1

en multipliant chaque membre de la relation par phi il vient phi^3 = phi² + phi = 2phi + 1
en multipliant à nouveau par phi il vient phi^4 = 2phi² + phi = 3phi + 2

cordialement

zazou1

> Partie 2:
> Construire un carré ABCD de côté 1 et marquer le
> milieu I de . Tracer le cercle de centre I et de
> rayon IC ; il coupe la demi-droite [AB) en E.
> Construire le rectangle AEFD.
>
> Q2. Calculer la valeur exacte de IC puis démontrer
> que AE= DF= (1+ racine de 5 ) / 2

gerard0

Bonjour.

Voir ma réponse au premier message de ce fil, que tu viens de pirater impoliment.

lalalala::

x²-x-1=0 ???? je n'aie tjr pas compris!

ned

Qu'est ce que tu n'as pas compris ?
Tu es en quelle classe ? Important à préciser pour que quelq'un puisse t'apporter une aide adpatée à ton niveau.
Bien cordialement.

clariii

Pouvez mettre la réponse de la partie 2 pour démontrer, merci

marchadour

afondsurlenet écrivait :
> Partie 2:
> Construire un carré ABCD de côté 1 et marquer le
> milieu I de . Tracer le cercle de centre I et de
> rayon IC ; il coupe la demi-droite [AB) en E.
> Construire le rectangle AEFD.
>
> Q2. Calculer la valeur exacte de IC puis démontrer
> que AE= DF= (1+ racine de 5 ) / 2

Je ne réussis pas la question 2 pour démontrer que AE=DF=(1+racine carré de 5)/2. Pouvez-vous me dire la réponse s'il vous plait.

nicolas.patrois

Théorème de Pythagore ?

Chaurien

Question de légalité posée à la Modération. Le fil  « Démythifier le nombre d'or »
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2441687
a été fermé, suite à des interventions trop éloignées du sujet initial.

J'avais envie d'en revenir à ce sujet, qui était une réflexion sur le Nombre d'Or et la récente vidéo du vulgarisateur El Jj, mais je n'ai pas eu le temps.
Ai-je le droit de poster un message strictement consacré à ce sujet, sans que ce soit considéré comme tentative illégale de réouverture d'un fil fermé ? 

[Oui bien sûr, mais attendons une petite semaine pour ne pas réveiller les démons ... AD]

nicolas.patrois

En tout cas, n’importe quel nombre entier naturel peut s’exprimer à l’aide d’une unique somme de puissances de $\phi$ non consécutives.

Par exemple $2_\phi=10.01=\phi+\phi^{−2}$, $3_\phi=100.01=\phi^2+\phi^{−2}$ et $23_\phi=1001000.100101=\phi^6+\phi^3+\phi^{−1}+\phi^{−4}+\phi^{−6}$. Il paraît que c’est utilisé dans la vraie vie, on en avait déjà causé sur le phorum.

Chaurien

Ça me rappelle le théorème de Zeckendorf, qui a des applications en théorie des jeux.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Zeckendorf

jelobreuil

Merci, Nicolas et Chaurien, je ne connaissais pas ...
Bien cordialement, JLB

Chaurien

Sauf erreur, la représentation des entiers en base $\phi$ a été introduite par cet article :

G. Bergman, A number system with an irrational base, Math. Mag. 31 (1957), 98–110