groupes cycliques et p-Sylow
dans Algèbre
Bonjour,
je ne comprends pas l'exercice suivant :
Pourquoi faut il aussi que $p$ ne divise pas $q-1$ ?
Merci de votre aide.
je ne comprends pas l'exercice suivant :
Je pensais que la condition pgcd$(p,q)=1$ suffisait.Soit $p$ et $q$, deux nombres premiers. On suppose que $p< q$.
Soit $G$ un groupe d'ordre $pq$.
a) Montrer que, si $p$ ne divise pas $q-1$, $G$ est cyclique.
Pourquoi faut il aussi que $p$ ne divise pas $q-1$ ?
Pourquoi "Si $p$ ne divise pas $q $, alors il y a un seul $p$-Sylow $K$ qui est donc distingué." ne suffit il pas ?Correction
Le nombre de $q$-Sylow de $G$ est nécessairement égal à $1$. L’unique $q$-Sylow
$H$ est donc distingué.
Si $p$ ne divise pas $q-1$, alors il y a un seul $p$-Sylow $K$ qui est donc distingué.
On sait alors que $G$ est isomorphe au produit direct de ses sous groupes de
Sylow.
Merci de votre aide.
Réponses
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Bonjour Papythagore
Ayant deux groupes $H, K$, pour pouvoir construire le produit semi-direct $H\rtimes_\phi K$, il est nécessaire et suffisant de construire un morphisme $\phi : K\rightarrow \mathrm{Aut}(H)$. (cela devrait être dans ton cours sinon regarde http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,685608,686802#msg-686802 ou http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,706642,706669#msg-706669 ).
Alors l'image $\phi(K)$ sera un sous-groupe de $\mathrm{Aut}(H)$, donc il est nécessaire que $|K|$ divise $|\mathrm{Aut}(H)|$.
Ici $|H|=q$ premier, donc $H$ est cyclique : $H\simeq \Z/q\Z$ et $\mathrm{Aut}(\Z/q\Z)\simeq (\Z/q\Z)^*$ (les inversibles de $\Z/q\Z$), qui est cyclique d'ordre $q-1$ ($\Z/q\Z$ est un corps).
Il est donc nécessaire que $|H|=p$ divise $q-1$.
Cela est suffisant, dans le cas présent, parce qu'un groupe cyclique d'ordre $n$ admet toujours un (unique) sous-groupe d'ordre $d$ pour tout $d$ diviseur de $n$.
Finalement, si $p\mid (q-1)$ alors on sait construire le produit semi-direct $H\rtimes_\phi K$ et donc il existe un groupe d'ordre $pq$ qui n'est pas cyclique.
Si $p\nmid (q-1)$, alors on ne sait pas construire un morphisme $\phi$ tel que ... et donc il n'y a pas de produit semi-direct d'ordre $pq$. Alors le lemme chinois permet de conclure que le groupe est cyclique d'ordre $pq$.
Alain -
Merci de ton aide.
C'est vraiment hard pour moi. Il y a beaucoup de chose que je ne comprends pas dans le cours. Les trois années de licence par correspondance, ça génère beaucoup de lacunes.GreginGre a écrit:Si $ G$ un groupe, et si $ H, K$ sont des sous-groupes de $ G$, on pose
$\displaystyle HK=\{ hk \mid h\in H,k\in K\}.$
Ce n'est pas un groupe en général.
Quels sont les éléments de $HK$ ?
Quelles propriétés d'un groupe ne sont pas vérifiées ?
Il me faudrait des exemples avec des permutations.
Il faut qu'un des $2$ groupes commutent avec l'autre, c'est à dire qu'il soit distingué dans $G$GreginGre a écrit:On devrait pouvoir ainsi écrire le produit de deux éléments $ hk,h'k'\in HK$ sous la forme $ h'' k''$. C'est possible en utilisant la distinction de $ H$. En effet, on a
$\displaystyle (hk)(h'k')=[h(kh'k^{-1})]kk'\in HK.$ -
Bonjour
Juste pour convaincre paspythagore de la nécessité de la condition. $S_3$ est d'ordre 6, 2 et 3 sont premiers, premiers entre eux, et il n'est pas cyclique! -
paspythagore écrivait:
> Si $ G$ un groupe, et si $ H, K$ sont des sous-groupes de $ G$, on pose $\displaystyle HK=\{ hk \mid h\in H,k\in K\}.$ Ce n'est pas un groupe en général.
>
> Que représente $HK$ lorsqu'il n'est pas un groupe ?
C'est une partie de $G$, un sous-ensemble (mais pas nécessairement sous-groupe) de $G$.
> Quels sont les éléments de $HK$ ?
C'est dans la définition, c'est l'ensemble de tous les produits (dans $G$) d'un élément de $H$ (à gauche) par un élément de $K$ (à droite).
> Quelles propriétés d'un groupe ne sont pas vérifiées ?
La composition interne : le produit de 2 éléments de $HK$ n'est pas nécessairement dans $HK$ :
$(h_1k_1)(h_2k_2) = h_1(k_1h_2)k_2$
Si on pouvait écrire $(k_1h_2)$ sous la forme $(h_3k_3)$, alors ce serait gagné. Mais en général on ne peut pas.
Dans le cas où, par exemple, $H$ est distingué dans $G$, alors on peut écrire :
$k_1h_2=(k_1h_2).(k_1^{-1}k_1) = (k_1h_2k_1^{-1}).k_1$ et puisque $H\lhd G$, la parenthèse est dans $H$, et on trouve bien : un élément de $H : (k_1h_2k_1^{-1})$ suivi d'un élément de $K : k_1$, c'est donc bien dans $HK$.
> Il me faudrait des exemples avec des permutations.
Prends $\frak S_3$ qui a 6 éléments. Choisis $H=\{id,(12)\},\ K=\{id,(23)\}$. Ce sont deux sous-groupes d'ordre 2 de $\frak S_3$.
Comme $H=H.id$ et $id\in K$, on a $H\subset HK$ et idem pour $K$
On en déduit $HK=\{id,\ (12),\ (23),\ (12)(23)=(123)\}$
et le composé des 2 éléments de $HK : (23).(123)=(13) \not\in HK$
Alain -
Bonjour,
je suis complétement découragé. Je ne comprends les notions énoncées par AD dans son premier message.
Je ne comprends pas les notions suivantes :
produit semi-direct,
morphisme $ \phi : K\rightarrow \mathrm{Aut}(H)$,
Pour le groupe d'ordre $6$ de Magnolia, j'aimerai bien comprendre...
Comment expliquer qu'il n'est pas cyclique ?
$6=2.3$
Il y a un seul $3$-Sylow et $1$ ou $3$ $2$-Sylow. S'il n'y a qu'un $2$-Sylow, cela nous fait 2 éléments (produit), or le groupe en a $6$. Si il y a 3 $2$-Sylow, il y a $3$ éléments différents dans les $2$-Sylow et $2$ dans le $3$-Sylow, cela fait $6$ éléments. Donc le groupe n'est pas simple et un de ses sous-groupe n'est pas distingué donc le groupe n'est pas cyclique ni commutatif. -
Le groupe $S_3$ est le très connu groupe des permutations de 3 objets (cité aussi par AD) Il n'est pas cyclique, parcequ'il n'est pas commutatif!
Revenons au problème... Un groupe d'ordre $n$ est cyclique si et seulement si pour chaque diviseur $d$ de $n$ il existe un et un seul sous-groupe d'ordre $d$.
Si $p < q$, il existe $n_q$ sous-groupes d'ordre $q$, $n_q$ divise $pq$ et est congru à 1 modulo $q$. La seule possibilité est $n_q=1.$
Il y a aussi $n_p$ sous-groupes d'ordre $p$, $n_p$ divise $pq$ et est congru à 1 modulo $p$. Donc $n_p$ vaut 1 ou $q$, et dans ce cas $p$ divise $q-1$. Donc si $p$ ne divise pas $q-1$, c'est forcément $n_p=1$, et le groupe est cyclique!
Dans le cas ou $p$ divise $q-1$, il existe un groupe non commutatif d'ordre $pq$, qui n'est certainement pas cyclique. AD t'en a donné une construction classique à base de produits semi-directs... qui te parait difficile! J'en connais une un peu plus artisanale, mais j'ai besoin de la mettre au point... si tu insistes, car la question n'est pas posée dans ton énoncé! -
Oui merci,
je comprends tes explications :Magnolia a écrit:Le groupe $ S_3$ est le très connu groupe des permutations de 3 objets (cité aussi par AD) Il n'est pas cyclique, parcequ'il n'est pas commutatif!
Revenons au problème... Un groupe d'ordre $ n$ est cyclique si et seulement si pour chaque diviseur $ d$ de $ n$ il existe un et un seul sous-groupe d'ordre $ d$.
Si $ p < q$, il existe $ n_q$ sous-groupes d'ordre $ q$, $ n_q$ divise $ pq$ et est congru à 1 modulo $ q$. La seule possibilité est $ n_q=1.$
Il y a aussi $ n_p$ sous-groupes d'ordre $ p$, $ n_p$ divise $ pq$ et est congru à 1 modulo $ p$. Donc $ n_p$ vaut 1 ou $ q$, et dans ce cas $ p$ divise $ q-1$. Donc si $ p$ ne divise pas $ q-1$, c'est forcément $ n_p=1$, et le groupe est cyclique!Magnolia a écrit:AD t'en a donné une construction classique à base de produits semi-directs... qui te parait difficile! J'en connais une un peu plus artisanale, mais j'ai besoin de la mettre au point... si tu insistes, car la question n'est pas posée dans ton énoncé!AD a écrit:Ayant deux groupes $ H, K$, pour pouvoir construire le produit semi-direct $ H\rtimes_\phi K$, il est nécessaire et suffisant de construire un morphisme $ \phi : K\rightarrow \mathrm{Aut}(H)$. -
Bonjour Papythagore
As-tu lu le lien que je t'ai mis en référence ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,685608,686802#msg-686802
Alain -
Oui,
mais j'ai de grosses difficultés à comprendre. -
Le lien de AD dit tout... mais je veux bien essayer de détailler les débuts !
Donc, on démarre avec deux groupes $H$ et $K$ et un morphisme $\varphi$ de $H$ dans $Aut(K)$.
Ça veut dire que pour tout $h\in H$ on s'est donné un automorphisme de $K$ que je note $\varphi_h$. Donc $\varphi_h$ est une bijection de $K$ dans $K$ qui vérifie $\varphi_h(kk')=\varphi_h(k)\varphi_h(k')$ pour tout couple $(k,k')\in K^2.$
De plus, $\varphi$ étant un morphisme on a $\varphi_{hh'}=\varphi_h\circ \varphi_{h'}$ pour tout couple $(h,h')\in H^2.$
Sur l'ensemble, $H\times K$ on définit une loi de composition $\star$ en posant
$$(h,k)\star(h',k')=(hh',\varphi_{h'}(k)k')$$
Reste à vérifier que cette loi est une loi de groupe !
[La case LaTeX. AD] -
Merci, je vais réessayer avec tes explications.
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Bonjour!
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