monotonie

ptite question

Slt les amis, je suis un élève de terminale qui veut prendre beeaucoup d'vance lol

je suis confronté à un problème si fof est croissante et fofof est decroissante sur R
Montrer que f est décroissante.
Merci d'avance, j'aimerais qu'on me dise quel raisonnement adopter

gottfried0

raisonnement par l'absurde (mais moi je m'y prends sans doute mal, car pour le moment je dois supposer que fof est strictement croissante, ou que fofof est strictement décroissante)

gb

Si \(x\leqslant y\), alors \(f\circ f\circ f(x)\geqslant f\circ f\circ f(y)\) par décroissance de \(f\circ f\circ f\).
On lit l'inégalité sous la forme : \(f\circ f\bigl(f(x)\bigr)\geqslant f\circ f\bigr(f(y)\bigr)\) et la croissance de \(\(f\circ f\) permet de conclure à \(f(x)\geqslant f(y)\).

Edit~: il y a un problème si \(f(x)<f(y)\) et \(f\circ f\bigl(f(x)\bigr)=f\circ f\bigr(f(y)\bigr)\).

gottfried0

@gb: non, car si fof n'est pas supposée strictement croissante on ne peut pas conclure que f(x) < f(y) est exclu.

gottfried0

soit f définie par f(0) = -1 et f(x) = 1 pour tout x non nul. Alors f(f(x)) vaut toujours 1 et est donc croissante et f(f(f(x)) vaut toujours 1 et est donc décroissante. Par contre f n'est ni croissante ni décroissante.