Interversion somme intégrale

jpnl

Bonjour,

Pour calculer $\displaystyle \int_0^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{e^{-nx}}{n^2-1}d x$, j'ai interverti somme et intégrale.
La justification de cette interversion passe-t-elle obligatoirement par un théorème de convergence dominée ?
(Si on intégrait sur un segment, la convergence normale de la série de fonctions suffirait ?)

Merci pour ces précisions...

remarque

Obligatoirement, probablement pas. On peut souvent traiter ce genre de choses en découpant l'intégrale en morceaux (je ne sais pas si c'est le cas ici, pas regardé). Par contre, la convergence normale n'implique effectivement rien pour une intégrale sur une partie non bornée.

gottfried0

dans ce cas précis tu peux mettre un $e^{-x}$ de côté avec le $dx$. Du coup la convergence normale justifiera la permutation série intégrale puisque $\int_0^\infty e^{-x}\,dx < \infty$. Faut toujours garder à l'esprit non pas l'énoncé mais les preuves d'un théorème (un théorème n'est qu'une astuce mnémotechnique pour se souvenir d'une preuve) (enfin bon je suis un optimiste de nature) (pas vraiment mais je fais semblant) (bon, salut)

alban01

Bonjour, il me semble que le théorème d'intégration terme à terme permet aussi de conclure puisqu'on va obtenir la série des $1/n^3$ en gros.

Pendant que j'y pense et même si cela n'a pas forcément d’intérêt dans cet exercice là, peut-on justifier l'interversion en montrant que l'intégrale de la série des modules est finie ? Précisément, j'ai une série de fonctions $(f_n)$ régulière et je sais que $\int_{\R}^{}\sum_{}^{} |f_n|$ est finie. Est-ce que j'ai le droit de dire que $\int_{\R}^{} \sum_{}^{} f_n = \sum_{}^{} \int_{\R}^{} f_n$ ?
J'aurais tendance à dire oui grâce au théorème de Fubini, mais dans ce cas, il faut l'appliquer avec une mesure produit un peu curieuse : le produit des mesures de Lebesgue par la mesure de comptage et je ne sais pas justifier la mesurabilité de $f_n$ par rapport à cette mesure.

jpnl

Merci pour ces réponses.

@Gottfried :

Dans ton argumentation, ne doit-on pas démontrer que la fonction $h$ ci-dessous est bornée sur $\R^+$ ?


En posant $h(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{e^{-(n-1)x}}{n^2-1}$, mon intégrale vaut $\int_0^{\infty}h(x)e^{-x}d x$.
$h$ est continue sur $\R^+$ comme somme normalement convergente de fonctions continues,
Pour $x>0$, je majore $h$ par $\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$ qui tend vers $0$ quand $x\to\infty$.
Donc $h$ est majorée par un $M$ sur $\R^+$ et l'intégrale converge.
(nb : $h>0$.)

Dès lors, l'intervertion est licite ? sans théorème de convergence dominée ?
Aïe, je titille ton optimisme simulé,je le sens bien.

gottfried0

@jpnl: soit $h_N(x)=\sum_{n=2}^{N}\frac{e^{-(n-1)x}}{n^2-1}$. Pour tout $\epsilon>0$ donné et pour $N$ suffisamment grand, on a pour tout $x$, $h(x) - \epsilon \leq h_N(x)\leq h(x)$ (il y a convergence uniforme puisqu'il y a convergence normale) donc \[\int_0^\infty h(x)e^{-x}dx - \epsilon \leq \int_0^\infty h_N(x)e^{-x}dx\leq \int_0^\infty h(x)e^{-x}dx\;,\] donc la série de terme général $u_n = \int_0^\infty \frac{e^{-(n-1)x}}{n^2-1}e^{-x}\,dx$ converge vers $\int_0^\infty h(x) e^{-x}\,dx$.

jp nl0

Très chouette ! Limpide !
Merci.

aléa

"La justification de cette interversion passe-t-elle obligatoirement par un théorème de convergence dominée"

La convergence monotone marche aussi (les sommes partielles forment une suite monotone positive).

DE

Fubini Tonnelli marche aussi.

Le plus simple techniquement et conceptuellement est sans doute toutefois la convergence monotone dont parlait aléa.